Grunnleggende matematikk: gratis øving, teori og oppgaver

1. Tall, brøk og prosent

Hva handler det om?

All ingeniørmatematikk bygger på vanlig tallregning. Før du kan derivere, løse ligninger eller regne på krefter og strømmer, må du kunne regne sikkert med negative tall, brøk, desimaltall og prosent – uten å gjette på rekkefølgen. Denne enheten starter helt fra bunnen og gir deg reglene du kommer til å bruke i alle de andre fagene.

Brøk og prosent er to måter å beskrive en del av en helhet på. En ingeniør bruker dem hele tiden: virkningsgrad, stigning på en vei, blandingsforhold i betong, toleranser og prisendringer.

Begreper og regler

• Regnerekkefølge: 1) parenteser, 2) potenser, 3) ganging og deling (fra venstre mot høyre), 4) pluss og minus (fra venstre mot høyre). Eksempel: $2 + 3\cdot 4 = 2 + 12 = 14$.
• Negative tall: minus ganger minus gir pluss, og minus ganger pluss gir minus. Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
• Brøk: $\frac{a}{b}$ betyr $a$ delt på $b$. Tallet $a$ over brøkstreken er telleren, og $b$ under er nevneren. Nevneren kan aldri være 0.
• Forkorte og utvide: du kan dele (eller gange) teller og nevner med samme tall uten å endre verdien: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
• Pluss og minus med brøk: skriv brøkene med felles nevner først, og legg så sammen tellerne: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
• Ganging: teller ganger teller og nevner ganger nevner: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.
• Deling: gang med den omvendte brøken: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$.
• Prosent betyr hundredeler: $p\,\% = \frac{p}{100}$. Altså er $25\,\% = 0{,}25 = \frac{1}{4}$.
• Forhold: $1 : 2 : 3$ betyr 1 del, 2 deler og 3 deler, til sammen 6 like store deler.
• Vekstfaktor: en økning på $p\,\%$ er det samme som å gange med $1 + \frac{p}{100}$, og en nedgang på $p\,\%$ er å gange med $1 - \frac{p}{100}$.

Slik løser du oppgavene

1. Se etter parenteser og regn dem ut først. Deretter potenser, så ganging og deling, og til slutt pluss og minus.
2. Sett negative tall i parentes når du setter dem inn i et uttrykk, for eksempel $3\cdot(-2)$.
3. Brøk: finn felles nevner ved pluss og minus, gang rett over ved ganging, og snu den andre brøken ved deling. Forkort til slutt.
4. Prosent: skriv prosenten som desimaltall eller som vekstfaktor, og gang. Flere endringer etter hverandre gir flere vekstfaktorer som ganges sammen.
5. Kontroller svaret: er størrelsen rimelig? Et prisavslag skal for eksempel gi lavere pris.

Eksempel

Regn ut $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\cdot 2$.

Ganging først: $\frac{1}{4}\cdot 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Felles nevner er 6:

En elektromotor koster 8000 kr. Prisen økes med 25 %, og senere settes den ned med 20 %. Vekstfaktorene er $1{,}25$ og $0{,}80$:

Prisen er altså tilbake der den startet, selv om 25 og 20 ikke er like tall. Grunnen er at de 20 prosentene regnes av et større beløp enn de 25 prosentene ble regnet av.

Vanlige feil

• Å regne fra venstre mot høyre uten å tenke på rekkefølgen: $2 + 3\cdot 4$ er 14, ikke 20.
• Å tro at $-3^2 = 9$. Potensen gjelder bare tallet 3, så $-3^2 = -9$, mens $(-3)^2 = 9$.
• Å legge sammen nevnerne: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ er ikke $\frac{2}{5}$.
• Å tro at +20 % og deretter −20 % gir samme verdi som før. Riktig er $1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96$, altså 4 % lavere.
• Å blande prosent og prosentpoeng. Når renten går fra 2 % til 3 %, har den økt med 1 prosentpoeng, men med 50 %.
• Å dele på feil tall ved prosentvis endring. Del alltid på den gamle verdien.

Begreper i denne delen

Øv på tall, brøk og prosent i appen →

2. Potenser, røtter og tierpotenser

Hva handler det om?

Potenser er en snarvei for å skrive gjentatt multiplikasjon: i stedet for å skrive $5\cdot5\cdot5\cdot5$ skriver vi $5^4$. Ingeniører bruker potenser hele tiden - i formler for areal, volum, energi og elektrisk effekt, og når størrelser vokser eller avtar raskt. Røtter er det motsatte av potenser, og tierpotenser (potenser av 10) gir en kompakt måte å skrive svært store eller svært små tall på, for eksempel avstanden til en stjerne eller diameteren til et atom.

Denne enheten bygger opp reglene for potenser og røtter fra bunnen, og viser hvordan de brukes til å regne med normalform og enhetsprefikser som kilo, milli og mikro.

Begreper og formler

• Potens: $a^n = a\cdot a\cdots a$ ($n$ faktorer). $a$ kalles grunntall, $n$ eksponent.
• Potensregler (samme grunntall $a\neq0$):

• $(ab)^n=a^nb^n$ og $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Spesielle eksponenter: $a^0=1$ (for $a\neq0$), og $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (negativ eksponent snur brøken).
• Rot: $\sqrt[n]{a}$ er tallet som opphøyd i $n$-te gir $a$. Kvadratrot skrives bare $\sqrt{a}$ (altså $n=2$). Som brøkeksponent: $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ og $a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$.
• Regneregler for røtter: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ og $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, men $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
• Normalform (vitenskapelig notasjon): et tall skrives som $t=a\cdot10^n$, der $1\le|a|<10$ og $n$ er et helt tall. Store tall gir positiv $n$, tall mellom 0 og 1 gir negativ $n$.
• Enhetsprefikser bygger på tierpotenser: giga (G) $=10^9$, mega (M) $=10^6$, kilo (k) $=10^3$, milli (m) $=10^{-3}$, mikro ($\mu$) $=10^{-6}$, nano (n) $=10^{-9}$.

Slik løser du oppgavene

1. Har uttrykket samme grunntall: legg sammen eksponentene ved ganging, trekk fra ved deling, gang eksponentene ved potens i potens.
2. Negativ eksponent: skriv om til brøk med positiv eksponent i nevneren.
3. Rot: skriv om til brøkeksponent når det gjør regningen enklere, eller finn roten direkte hvis tallet er et kjent kvadrat- eller kubikktall.
4. Tierpotenser: regn tallene foran (mantissene) for seg, og legg sammen eller trekk fra eksponentene til tierpotensene for seg.
5. Skriv svaret i normalform hvis oppgaven ber om det, og pass på at mantissen er mellom 1 og 10.
6. Sjekk størrelsesorden til slutt: er svaret rimelig stort eller lite?

Eksempel

Regn ut $\dfrac{(2{,}0\cdot10^5)\cdot(3{,}0\cdot10^{-2})}{4{,}0\cdot10^3}$.

Regn mantissene for seg: $\dfrac{2{,}0\cdot3{,}0}{4{,}0}=1{,}5$. Regn tierpotensene for seg: $\dfrac{10^5\cdot10^{-2}}{10^3}=10^{5-2-3}=10^0=1$. Svaret er

Finn også $\sqrt[3]{64}\cdot 4^{-1}$. Kubikkroten av 64 er 4 (siden $4^3=64$), og $4^{-1}=\frac14$, så svaret blir $4\cdot\frac14=1$.

Vanlige feil

• Å tro $a^m\cdot a^n=a^{mn}$. Riktig regel er å legge sammen eksponentene: $a^{m+n}$.
• Å blande $a^{-n}$ med $-a^n$. Et minustegn i eksponenten betyr «snu brøken», ikke «gjør tallet negativt»: $2^{-3}=\frac18$, ikke $-8$.
• Å tro $\sqrt{a^2}=a$ for alle $a$. Riktig er $\sqrt{a^2}=|a|$, som blir positivt selv om $a$ er negativt.
• Å legge sammen under rottegnet: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
• Feil fortegn på eksponenten i normalform, for eksempel å skrive $4{,}5\cdot10^4$ i stedet for $4{,}5\cdot10^{-4}$ for et lite tall.
• Å glemme at mantissen i normalform skal være mellom 1 og 10 (ikke for eksempel $45\cdot10^{-5}$).

Begreper i denne delen

Øv på potenser, røtter og tierpotenser i appen →

3. Algebra og ligninger

Hva handler det om?

I mange ingeniørformler er det en ukjent størrelse vi skal finne - da bruker vi bokstaver (variabler) og løser en ligning. Algebra er språket vi bruker for å regne med ukjente størrelser i stedet for bare tall, og gir oss en fast oppskrift som virker uansett hvilke tall som står i formelen. Å kunne regne med bokstavuttrykk, løse ligninger og snu om på formler er en av de aller viktigste ferdighetene i ingeniørfag - du kommer til å bruke det i så godt som alle emner.

Begreper og formler

• Uttrykk, ledd, koeffisient: i uttrykket $3x^2-5x+2$ er $3x^2$, $-5x$ og $2$ ledd, og 3 og -5 er koeffisienter foran x.
• Å multiplisere inn i en parentes (distributiv lov): $a(b+c)=ab+ac$. Minus foran en parentes snur fortegnet på alle ledd: $-(a-b)=-a+b$.
• Kvadratsetningene:

• Faktorisering: å skrive et uttrykk som et produkt, motsatt av å multiplisere ut. Se etter felles faktor: $6x^2-9x=3x(2x-3)$.
• Ligning: et utsagn om at to uttrykk er like, sant for bestemte verdier av x. Å løse en ligning betyr å finne disse verdiene.
• Likevektsprinsippet: du kan gjøre samme operasjon (+, -, ×, ÷ med tall $\neq0$) på begge sider av likhetstegnet uten at løsningen endres.
• Andregradsligning $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq0$) løses med abc-formelen:

Uttrykket under rottegnet, $b^2-4ac$, kalles diskriminanten. Er den positiv, er det to løsninger; er den null, én (dobbel) løsning; er den negativ, ingen reelle løsninger.

• To ligninger med to ukjente (lineært ligningssystem) løses ved innsetting eller addisjon: du eliminerer én av de ukjente.

Slik løser du oppgavene

1. Forenkle hver side for seg: multipliser ut parenteser og slå sammen like ledd.
2. Flytt alle ledd med x til én side og tallene til den andre (bytt fortegn når du flytter over likhetstegnet).
3. Del på koeffisienten foran x til slutt.
4. For andregradsligninger: få alt over på formen $ax^2+bx+c=0$ og sett inn i abc-formelen. Regn diskriminanten først.
5. Skal du løse ut en variabel fra en formel: behandle den som den ukjente x, og gjør akkurat de samme operasjonene.
6. Sjekk svaret ved å sette det inn i den opprinnelige ligningen.

Eksempel

Løs ligningen $3(x-2) = 2x+4$.

Multipliser ut parentesen: $3x-6=2x+4$. Flytt $2x$ over: $3x-2x-6=4$, altså $x-6=4$. Legg til 6 på begge sider: $x=10$.

Løs også $x^2-2x-8=0$. Her er $a=1,\,b=-2,\,c=-8$. Diskriminanten er $b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36$. Da er

som gir $x=4$ eller $x=-2$.

Vanlige feil

• Å glemme å gange ut alle ledd i en parentes, spesielt med minus foran: $-(x-3)=-x+3$, ikke $-x-3$.
• Å tro $(a+b)^2=a^2+b^2$. Det mangler leddet $2ab$.
• Fortegnsfeil når et ledd flyttes over likhetstegnet.
• Å dele bare én side av ligningen, eller dele på et uttrykk som kan være null.
• Å bytte om $b$ og $-b$ eller glemme $\pm$ i abc-formelen.
• Å tro andregradsligninger alltid har to løsninger - sjekk diskriminanten.

Begreper i denne delen

Øv på algebra og ligninger i appen →

4. Funksjoner og grafer

Hva handler det om?

En funksjon er en oppskrift som gir nøyaktig én utverdi for hver innverdi. Vi skriver $f(x)$ for verdien funksjonen gir når vi setter inn $x$. Ingeniører bruker funksjoner til å modellere sammenhenger mellom størrelser - hvordan strekning avhenger av tid, hvordan kostnad avhenger av antall, hvordan spenning avhenger av strøm. Grafen til en funksjon er et bilde av denne sammenhengen, og å kunne lese av og bygge grafer er helt sentralt for å forstå hva en formel faktisk sier.

Denne enheten dekker de to viktigste funksjonstypene i dette kurset: lineære funksjoner (rette linjer) og andregradsfunksjoner (parabler), og hvordan du leser informasjon ut av grafene deres.

Begreper og formler

• Funksjon $f(x)$: for hver x-verdi (definisjonsmengden) gir funksjonen nøyaktig én y-verdi ($f(x)$, verdimengden).
• Lineær funksjon: $f(x)=ax+b$, grafen er en rett linje. $a$ er stigningstallet (endring i y per endring i x), og $b$ er skjæringspunktet med y-aksen (der $x=0$).
• Stigningstall mellom to punkter: $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Positiv $a$ gir en stigende graf, negativ $a$ en synkende graf, og $a=0$ en vannrett linje. Større $|a|$ gir en brattere linje.
• Linje gjennom et punkt med kjent stigningstall: $y-y_1=a(x-x_1)$.
• Andregradsfunksjon: $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$), grafen er en parabel. $a>0$: parabelen vender oppover (har et bunnpunkt/minimum); $a<0$: den vender nedover (har et toppunkt/maksimum).
• Toppunkt/bunnpunkt: x-koordinaten er $x_t=-\dfrac{b}{2a}$; sett den inn i funksjonen for å finne y-koordinaten.
• Nullpunkter (der grafen krysser x-aksen): løs $ax^2+bx+c=0$ med abc-formelen (fra forrige enhet).
• Symmetrilinjen til parabelen er den loddrette linja $x=x_t$ gjennom toppunktet/bunnpunktet.

Slik løser du oppgavene

1. Skal du finne stigningstall mellom to punkter: sett inn i formelen $a=\Delta y/\Delta x$, og pass på rekkefølgen.
2. Skal du finne funksjonsuttrykket til en rett linje: finn $a$ først, sett så inn ett punkt for å finne $b$.
3. Skal du lese av en graf: se hvor den skjærer aksene, om den stiger eller synker, og (for parabler) hvor toppunktet/bunnpunktet er.
4. Skal du finne toppunkt/bunnpunkt for en parabel: bruk $x_t=-b/2a$, sett så inn i funksjonen for å finne y-verdien.
5. Skal du finne nullpunkter: sett $f(x)=0$ og løs andregradsligningen.
6. Sjekk svaret: sett x-verdien inn igjen i funksjonsuttrykket og se at du får riktig y-verdi.

Eksempel

En rett linje går gjennom punktene $(1,3)$ og $(4,12)$. Finn funksjonsuttrykket.

Stigningstall: $a=\dfrac{12-3}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3$. Sett inn punktet $(1,3)$: $3=3\cdot1+b \Rightarrow b=0$. Funksjonen er $f(x)=3x$.

Finn toppunktet til $f(x)=-2x^2+8x+3$. Her er $a=-2,b=8$, så $x_t=-\dfrac{8}{2\cdot(-2)}=2$. Da er $f(2)=-2\cdot4+16+3=11$. Toppunktet er $(2,11)$, og siden $a<0$ er dette et maksimum.

Vanlige feil

• Å bytte om $\Delta y$ og $\Delta x$ i stigningstallet (husk: endring i y over endring i x).
• Å tro at $b$ i $f(x)=ax+b$ er stigningstallet - det er $a$ som er stigningstallet.
• Fortegnsfeil i $x_t=-b/2a$, spesielt når $b$ eller $a$ er negativ.
• Å tro alle andregradsfunksjoner har nullpunkter - ligger toppunktet over x-aksen (parabel som vender nedover) eller bunnpunktet under x-aksen (parabel som vender oppover), kan det være ingen nullpunkter. Dette henger sammen med fortegnet til diskriminanten.
• Å lese av grafen feil vei (forveksle x- og y-aksen) eller lese av feil skala.

Begreper i denne delen

Øv på funksjoner og grafer i appen →

5. Eksponential- og logaritmefunksjoner

Hva handler det om?

Mange størrelser i teknikk og natur endrer seg med samme faktor i hvert tidssteg, ikke med samme mengde. Et bankinnskudd med 4 % rente blir ganget med 1,04 hvert år. En radioaktiv kilde mister samme andel hvert år. En kondensator som lades ut, en kopp kaffe som kjøles ned og en bakteriekultur som vokser, følger samme mønster. Dette kalles eksponentiell vekst eller nedgang.

Sammenlign med lineær vekst: der legger vi til det samme hver gang ($+3$, $+3$, $+3$ …). Ved eksponentiell vekst ganger vi med det samme ($\cdot 2$, $\cdot 2$, $\cdot 2$ …). Eksponentiell vekst virker langsom i starten, men blir etter hvert enormt rask.

Logaritmen er det motsatte av en potens. Den svarer på spørsmålet «hvilken eksponent trenger jeg?». Du trenger den når den ukjente står i eksponenten, for eksempel når du skal finne hvor lang tid noe tar.

Begreper og formler

• Eksponentialfunksjon: $f(x) = a\cdot b^x$, der $a = f(0)$ er startverdien og $b > 0$ er vekstfaktoren.
• $b > 1$ gir vekst, og $0 < b < 1$ gir nedgang.
• Prosentvis endring: økning med $p$ % gir $b = 1 + \frac{p}{100}$, nedgang med $p$ % gir $b = 1 - \frac{p}{100}$. Eksempel: $+5$ % gir $1{,}05$, og $-20$ % gir $0{,}80$.
• Tallet $e \approx 2{,}718$ er det «naturlige» grunntallet. I fysikk og kalkulus skriver vi nesten alltid $N(t) = N_0e^{kt}$, der $k > 0$ betyr vekst og $k < 0$ betyr nedgang. Alle grunntall kan skrives om: $b^t = e^{t\ln b}$.
• Logaritmer: $\lg x = y$ betyr $10^y = x$, og $\ln x = y$ betyr $e^y = x$. Generelt betyr $\log_b x = y$ at $b^y = x$, og $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$.
• Logaritmen er bare definert for $x > 0$. Dessuten er $\ln 1 = 0$ og $\ln e = 1$.
• $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$: de to funksjonene opphever hverandre.
• Regneregler (de gjelder også for $\lg$):

• Halveringstid og doblingstid: $T = \frac{\ln 2}{|k|}$. Etter tiden $t$ er andelen $\left(\tfrac12\right)^{t/T}$ igjen.

Slik løser du oppgavene

1. Finn startverdien ($a$ eller $N_0$) og vekstfaktoren ($b$) eller vekstraten ($k$).
2. Skriv modellen, for eksempel $N(t) = N_0\cdot b^t$.
3. Skal du finne en verdi: sett inn $t$ og regn ut.
4. Skal du finne en tid (den ukjente står i eksponenten): isoler potensen alene på den ene siden, ta $\ln$ på begge sider, bruk $\ln(b^t) = t\ln b$ og del.
5. Sjekk at svaret er rimelig: nedgang skal gi mindre verdier, og en tid skal være positiv.

Eksempel

Aktiviteten til en radioaktiv kilde avtar med 12 % per år. Hvor lang tid tar det før aktiviteten er halvert?

1. Vekstfaktoren er $b = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$, så $A(t) = A_0\cdot 0{,}88^t$.
2. Halvert betyr $A(t) = 0{,}5A_0$. Del på $A_0$: $0{,}88^t = 0{,}5$.
3. Ta $\ln$ på begge sider: $t\ln 0{,}88 = \ln 0{,}5$.
4. $t = \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}88} = \dfrac{-0{,}6931}{-0{,}1278} \approx 5{,}42$ år.

Samme modell med $e$: $k = \ln 0{,}88 \approx -0{,}128$, så $A(t) = A_0e^{-0{,}128t}$ og $T = \ln 2/0{,}128 \approx 5{,}42$ år. Begge skrivemåtene gir samme svar.

Vanlige feil

• Å regne prosent lineært: 10 % økning to år på rad gir $1{,}1^2 = 1{,}21$, altså 21 %, ikke 20 %.
• Feil vekstfaktor ved nedgang: 20 % nedgang gir $0{,}8$, ikke $0{,}2$ eller $-0{,}2$.
• $\ln(a + b)$ er ikke $\ln a + \ln b$. Regnereglene gjelder produkt, brøk og potens.
• $(e^x)^2 = e^{2x}$, ikke $e^{x^2}$.
• Å blande $\lg$ (grunntall 10) og $\ln$ (grunntall $e$) på kalkulatoren.
• Å ta logaritmen av null eller av et negativt tall. Det er ikke definert.

Begreper i denne delen

Øv på eksponential- og logaritmefunksjoner i appen →

6. Trigonometri og geometri

Hva handler det om?

Trigonometri handler om sammenhengen mellom vinkler og lengder i trekanter. Ingeniører bruker det hele tiden: for å dele en kraft i en vannrett og en loddrett del, finne helningen på en rampe eller et tak, regne ut lengden på et skråstag eller beskrive noe som roterer eller svinger. I kalkulus og fysikk dukker $\sin$ og $\cos$ opp som funksjoner, og da måles vinkler i radianer.

Begreper og formler

• Vinkelsummen i en trekant er $180^\circ$. En rett vinkel er $90^\circ$.
• Radianer: en hel omdreining er $360^\circ = 2\pi$ rad. Omregning: $\text{rad} = \text{grader}\cdot\frac{\pi}{180}$. Altså er $180^\circ = \pi$ og $90^\circ = \pi/2$.
• Pythagoras (rettvinklet trekant, $c$ er hypotenusen, den lengste siden): $a^2 + b^2 = c^2$. De to korteste sidene kalles kateter.
• For en spiss vinkel $v$ i en rettvinklet trekant:

• Kjenner du sidene og skal finne vinkelen, bruker du de omvendte funksjonene $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$ (ofte «shift sin» på kalkulatoren).
• Eksakte verdier: $\sin 30^\circ = \tfrac12$, $\cos 60^\circ = \tfrac12$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$.
• Enhetssirkelen: punktet med vinkel $v$ (målt mot klokka fra positiv $x$-akse) har koordinatene $(\cos v, \sin v)$. Slik defineres sin og cos for alle vinkler. Det gir $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$ og viser fortegnene: for eksempel er $\cos v < 0$ når $90^\circ < v < 270^\circ$.
• Vilkårlig trekant (sidene $a, b, c$ står overfor vinklene $A, B, C$):

• Sirkel med radius $r$: omkrets $2\pi r$, areal $\pi r^2$, buelengde $s = r\theta$ og sektorareal $A = \tfrac12 r^2\theta$ (med $\theta$ i radianer).

Slik løser du oppgavene

1. Tegn en skisse, og marker det du kjenner og det du skal finne.
2. Er det en rett vinkel? Bruk Pythagoras (bare sider) eller $\sin$, $\cos$, $\tan$ (sider og vinkel).
3. Ingen rett vinkel? Bruk cosinussetningen når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem (eller alle tre sidene), og sinussetningen når du kjenner en side og vinkelen overfor den.
4. Sjekk at kalkulatoren står i riktig modus: DEG for grader, RAD for radianer.
5. Kontroller svaret: hypotenusen er lengst, og den største vinkelen står overfor den lengste siden.

Eksempel

En rampe er 4,0 m lang (langs skråningen) og hever seg 0,80 m. Hva er helningsvinkelen, og hvor lang er rampen målt langs bakken?

1. Høyden er motstående katet og rampen er hypotenusen: $\sin v = \dfrac{0{,}80}{4{,}0} = 0{,}20$.
2. $v = \sin^{-1}(0{,}20) \approx 11{,}5^\circ$.
3. Bakkelengden er den hosliggende kateten: $b = \sqrt{4{,}0^2 - 0{,}80^2} = \sqrt{15{,}36} \approx 3{,}92$ m.

Uten rett vinkel: to stenger på 3,0 m og 5,0 m er festet i samme punkt med $60^\circ$ mellom seg. Avstanden mellom de frie endene er $c = \sqrt{3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos 60^\circ} = \sqrt{19} \approx 4{,}36$ m.

Vanlige feil

• Kalkulatoren står i RAD mens vinkelen er i grader (eller omvendt). $\sin 30$ i radianer gir $-0{,}988$, ikke $0{,}5$.
• Å bytte om motstående og hosliggende katet. Begge er definert ut fra vinkelen du ser på.
• Å bruke Pythagoras eller «sin = mot/hyp» i en trekant uten rett vinkel.
• Å tro at $\sin^{-1} x$ betyr $1/\sin x$. Det er den omvendte funksjonen, som gir en vinkel.
• Å bruke $s = r\theta$ med $\theta$ i grader.
• Sinussetningen kan gi to mulige vinkler ($v$ og $180^\circ - v$), fordi de har samme sinus. Sjekk hvilken som passer med figuren.

Begreper i denne delen

Øv på trigonometri og geometri i appen →

7. Vektorer

Hva handler det om?

Noen størrelser er fullstendig beskrevet av ett tall: masse (5 kg), temperatur (20 °C) og tid (3 s). De kalles skalarer. Andre størrelser har også en retning: en kraft på 200 N som drar oppover, er noe helt annet enn 200 N som drar sidelengs. Slike størrelser kalles vektorer. Krefter, hastighet, akselerasjon, forflytning og moment er vektorer.

I statikk og fysikk skal du nesten alltid legge sammen flere krefter eller hastigheter. Det gjør du ved å dele hver vektor opp i komponenter langs $x$- og $y$-aksen, legge sammen hver retning for seg og sette resultatet sammen igjen.

Begreper og formler

• En vektor tegnes som en pil og skrives $\vec a$. Lengden (størrelsen) skrives $|\vec a|$.
• Komponentform: $\vec a = (a_x, a_y)$ eller $\vec a = a_x\vec i + a_y\vec j$, der $\vec i$ og $\vec j$ er enhetsvektorer (lengde 1) langs aksene. I tre dimensjoner er $\vec a = (a_x, a_y, a_z)$. Mange norske skolebøker skriver $[a_x, a_y]$.
• Lengde: $|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$, og i 3D $|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.
• Fra lengde og vinkel $\theta$ (målt mot klokka fra positiv $x$-akse): $a_x = |\vec a|\cos\theta$ og $a_y = |\vec a|\sin\theta$.
• Retning fra komponenter: $\tan\theta = a_y/a_x$. Sjekk kvadranten ut fra fortegnene!
• Sum: $\vec a + \vec b = (a_x + b_x, a_y + b_y)$. Tall ganger vektor: $k\vec a = (ka_x, ka_y)$.
• Vektor mellom to punkter: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$, altså «slutt minus start».
• Skalarproduktet (prikkproduktet) gir et tall:

• $\vec a\cdot\vec b = 0$ betyr at vektorene står vinkelrett på hverandre. Arbeid er et skalarprodukt: $W = \vec F\cdot\vec s$.
• Moment av en kraft $\vec F$ om et punkt, der $\vec r = (r_x, r_y)$ er vektoren fra punktet til angrepspunktet: $M = r_xF_y - r_yF_x$ (positivt mot klokka). Dette er $z$-komponenten av kryssproduktet $\vec r\times\vec F$.

Slik løser du oppgavene

Slik finner du summen (resultanten) av flere krefter:

1. Tegn kreftene og velg akser. Mål alle vinkler mot klokka fra positiv $x$-akse.
2. Del hver kraft i komponenter: $F_x = F\cos\theta$ og $F_y = F\sin\theta$. Pass på fortegnene.
3. Legg sammen hver retning for seg: $R_x = \sum F_x$ og $R_y = \sum F_y$.
4. Lengde: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$. Retning: $\theta = \tan^{-1}(R_y/R_x)$, justert til riktig kvadrant.
5. Likevekt betyr at resultanten er null: $\sum F_x = 0$ og $\sum F_y = 0$.

Eksempel

To tau drar i en krok: $F_1 = 400$ N med vinkel $30^\circ$ og $F_2 = 250$ N med vinkel $120^\circ$ (begge målt fra positiv $x$-akse). Finn resultanten.

1. $F_{1x} = 400\cos 30^\circ \approx 346{,}4$ N og $F_{1y} = 400\sin 30^\circ = 200{,}0$ N.
2. $F_{2x} = 250\cos 120^\circ = -125{,}0$ N og $F_{2y} = 250\sin 120^\circ \approx 216{,}5$ N.
3. $R_x = 346{,}4 - 125{,}0 = 221{,}4$ N og $R_y = 200{,}0 + 216{,}5 = 416{,}5$ N.
4. $R = \sqrt{221{,}4^2 + 416{,}5^2} \approx 471{,}7$ N og $\theta = \tan^{-1}(416{,}5/221{,}4) \approx 62{,}0^\circ$.

Å svare $400 + 250 = 650$ N ville vært feil: krefter legges sammen som vektorer, ikke som tall.

Vanlige feil

• Å legge sammen lengdene i stedet for komponentene. Som regel er $|\vec a + \vec b|$ mindre enn $|\vec a| + |\vec b|$.
• Feil fortegn på komponentene i 2., 3. og 4. kvadrant.
• Å stole blindt på $\tan^{-1}$: kalkulatoren gir bare vinkler mellom $-90^\circ$ og $90^\circ$. For $\vec a = (-3, -3)$ er retningen $225^\circ$, ikke $45^\circ$.
• Å bruke $\sin$ for $x$-komponenten når vinkelen er målt fra $x$-aksen.
• $\overrightarrow{AB}$ er $B$ minus $A$, ikke $A$ minus $B$.
• Å tro at skalarproduktet gir en vektor. Det gir et tall.

Begreper i denne delen

Øv på vektorer i appen →

8. Innføring i derivasjon

Hva handler det om?

Den deriverte måler hvor bratt en graf er i et punkt, altså hvor fort noe endrer seg akkurat der. Farten til en bil er den deriverte av posisjonen. Effekten er den deriverte av energien. Dette er grunnmuren for kalkulus, og du trenger bare noen få regler for å komme i gang.

Begreper og formler

• Gjennomsnittlig vekstfart fra $x = a$ til $x = b$ er stigningstallet til linja mellom de to punktene:

• Momentan vekstfart $f'(a)$ er stigningstallet til tangenten i punktet. Du får den ved å la $b$ nærme seg $a$.
• Tre regler dekker alle polynomer:

• Den deriverte av en konstant er null: en vannrett linje har stigning 0.
• Fortegnet sier hvordan grafen går: $f'(x) > 0$ betyr at $f$ vokser, $f'(x) < 0$ betyr at $f$ avtar, og $f'(x) = 0$ betyr vannrett tangent (mulig topp eller bunn).
• Tangenten i $x = a$: $y = f(a) + f'(a)\,(x - a)$.

Slik løser du oppgavene

1. Deriver ledd for ledd: flytt eksponenten ned foran og trekk 1 fra eksponenten.
2. Sett inn $x$-verdien i den deriverte, ikke i den opprinnelige funksjonen.
3. Tenk på hva svaret betyr: fart, stigning, vekst per år osv.

Eksempel

Posisjonen til en vogn er $s(t) = 4t^2$ meter etter $t$ sekunder. Hvor stor fart har den etter 3 s?

1. Farten er den deriverte av posisjonen: $v(t) = s'(t) = 4\cdot 2t = 8t$.
2. $v(3) = 8\cdot 3 = 24$ m/s.
3. Til sammenligning er gjennomsnittsfarten de tre første sekundene $s(3)/3 = 36/3 = 12$ m/s.

Vanlige feil

• Å glemme å trekke 1 fra eksponenten: $(x^3)' = 3x^2$, ikke $3x^3$.
• Å sette inn i $f$ i stedet for i $f'$.
• Å tro at den deriverte av et konstantledd er konstanten selv. Den er 0.

Begreper i denne delen

Øv på innføring i derivasjon i appen →

9. Statistikk og sannsynlighet

Hva handler det om?

Ingeniører jobber med målinger som varierer og med risiko: hvor ofte svikter en komponent, hva er en typisk verdi, hvor mye sprer målingene seg? Her lærer du de enkleste verktøyene for å beskrive data og regne med sannsynlighet.

Begreper og formler

• Gjennomsnitt: summen delt på antallet, $\bar x = \dfrac{\sum x_i}{n}$.
• Median: den midterste verdien når tallene er sortert. Ved et partall antall tar du gjennomsnittet av de to midterste.
• Typetall: verdien som forekommer oftest. Variasjonsbredde: største minus minste verdi.
• Sannsynlighet når alle utfall er like sannsynlige:

• Komplement: $P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$.
• Uavhengige hendelser: $P(A \text{ og } B) = P(A)\cdot P(B)$.
• Minst én gang regnes lettest via komplementet: $P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$.

Slik løser du oppgavene

1. Beskrive data: sorter tallene først, så er median og variasjonsbredde lette å finne.
2. Sannsynlighet: tell mulige og gunstige utfall, eller gang sammen sannsynligheter for uavhengige hendelser.
3. «Minst én»: regn ut sannsynligheten for «ingen» og trekk fra 1.

Eksempel

Hva er sannsynligheten for minst én sekser på tre terningkast?

1. Sannsynligheten for ikke sekser på ett kast er $5/6$.
2. Ingen seksere på tre kast: $(5/6)^3 \approx 0{,}579$.
3. Minst én sekser: $1 - 0{,}579 = 0{,}421$, altså omtrent 42 %.

Vanlige feil

• Å legge sammen sannsynligheter som skulle vært ganget: $3\cdot\tfrac16 = 0{,}5$ er feil for «minst én sekser på tre kast».
• Å finne medianen uten å sortere tallene først.
• Å la én ekstrem verdi dominere gjennomsnittet. Da beskriver medianen det typiske bedre.

Begreper i denne delen

Øv på statistikk og sannsynlighet i appen →