Matematikk R1: gratis øving, teori og oppgaver

1. Logaritmer og eksponentiallikninger

Hva handler det om?

Logaritmen svarer på spørsmålet «hvilken eksponent trenger jeg?». Den brukes for å løse likninger der den ukjente står i eksponenten, for eksempel ved vekst og nedbrytning.

Begreper og formler

• $\lg a = x \iff 10^x = a$, og $\ln a = x \iff e^x = a$.
• $\lg(ab) = \lg a + \lg b$, $\lg\dfrac{a}{b} = \lg a - \lg b$, $\lg a^n = n \lg a$ (tilsvarende for $\ln$).
• $e^{kx} = a$ gir $x = \dfrac{\ln a}{k}$.
• Eksponentiell vekst: $f(x) = a \cdot b^x$. Vekstfaktoren $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir nedgang.

Eksempel

$3 \cdot 2^x = 48$ gir $2^x = 16$, så $x = \dfrac{\lg 16}{\lg 2} = 4$.

Øv på logaritmer og eksponentiallikninger i appen →

2. Derivasjon og drøfting

Hva handler det om?

I R1 deriverer du flere typer funksjoner og bruker den deriverte til å drøfte grafen: hvor den vokser og avtar, topp- og bunnpunkter, og vendepunkter.

Begreper og formler

• $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• Produktregelen: $(uv)' = u'v + uv'$.
• Kvotientregelen: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Kjerneregelen: $\big(g(u(x))\big)' = g'(u) \cdot u'(x)$.
• Toppunkt/bunnpunkt der $f'(x) = 0$ og $f'$ skifter fortegn. Vendepunkt der $f''(x) = 0$ og $f''$ skifter fortegn.

Eksempel

$f(x) = (2x + 1)^3$ gir $f'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$.

Øv på derivasjon og drøfting i appen →

3. Vektorer i planet

Hva handler det om?

En vektor har både lengde og retning. I planet skrives den med koordinater $[x, y]$.

Begreper og formler

• Vektor fra $A(x_1, y_1)$ til $B(x_2, y_2)$: $\overrightarrow{AB} = [x_2 - x_1,\ y_2 - y_1]$.
• Lengde: $|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Skalarprodukt: $\vec u \cdot \vec v = x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec u||\vec v|\cos v$.
• $\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$. Parallelle vektorer: $\vec u = t\vec v$.

Øv på vektorer i planet i appen →

4. Sannsynlighet og kombinatorikk

Hva handler det om?

Kombinatorikk teller hvor mange muligheter det finnes. Sannsynlighet er gunstige utfall delt på mulige utfall, når alle er like sannsynlige.

Begreper og formler

• Ordnet uten tilbakelegging: $n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)$. Uordnet: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Betinget sannsynlighet: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
• Bayes' setning: $P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$.
• Binomisk fordeling: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Øv på sannsynlighet og kombinatorikk i appen →

5. Grenseverdier og kontinuitet

Hva handler det om?

En grenseverdi beskriver hva $f(x)$ nærmer seg når $x$ nærmer seg et tall (eller går mot uendelig), selv om funksjonen ikke er definert akkurat der. Grenseverdier er grunnmuren under derivasjon.

Begreper og formler

• $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$: $f(x)$ kommer så nær $L$ vi vil når $x$ er nær nok $a$.
• «$\tfrac{0}{0}$» betyr ikke at svaret er 0 eller 1. Faktoriser og forkort først: $\lim\limits_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim\limits_{x \to 3}(x + 3) = 6$.
• Når $x \to \infty$ i en brøk av polynomer: del på den høyeste potensen i nevneren. $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{2x + 1}{x - 4} = 2$.
• $f$ er kontinuerlig i $a$ når $f(a)$ finnes og $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$: grafen kan tegnes uten å løfte blyanten.
• Delt funksjonsforskrift: de to delene må gi samme verdi i skjøten for at $f$ skal være kontinuerlig.
• Definisjonen av den deriverte: $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$.

Eksempel

$f(x) = \begin{cases} x^2 + k, & x < 1 \\ 2x + 3, & x \ge 1 \end{cases}$. Kontinuitet i $x = 1$ krever $1 + k = 5$, altså $k = 4$.

Øv på grenseverdier og kontinuitet i appen →

6. Derivasjonsregler i praksis

Hva handler det om?

Her trener du på reglene du trenger for å derivere alt i R1: potenser, $e^x$, $\ln x$, og kombinasjoner med produkt-, brøk- og kjerneregelen.

Begreper og formler

• $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• Kjerneregelen: $\big(e^{kx}\big)' = ke^{kx}$, $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$, $\big((ax + b)^n\big)' = na(ax + b)^{n-1}$.
• Produktregelen: $(uv)' = u'v + uv'$. Eksempel: $(x e^x)' = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$.
• Brøkregelen: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Eksempel: $\left(\dfrac{x}{x + 1}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.

Fremgangsmåte

1. Se etter strukturen: er det et produkt, en brøk eller en funksjon av en funksjon?
2. Velg regel og skriv opp $u$, $v$ (eller kjernen $u$) og deres deriverte.
3. Sett sammen og forenkle. Sett inn tall helt til slutt.

Øv på derivasjonsregler i praksis i appen →

7. Optimering

Hva handler det om?

Optimering er å finne den største eller minste verdien av noe: størst areal, minst materialbruk, størst overskudd. Den deriverte er null i topp- og bunnpunktene, så det er der du leter.

Fremgangsmåte

1. Tegn en figur og gi størrelsene navn.
2. Skriv størrelsen du vil optimere som en funksjon av én variabel. Bruk bibetingelsen (f.eks. fast omkrets) til å fjerne de andre.
3. Finn definisjonsmengden (lengder kan ikke være negative).
4. Løs $f'(x) = 0$ og sjekk med fortegnslinje eller $f''(x)$ at det er et topp- eller bunnpunkt.
5. Sjekk endepunktene og svar på spørsmålet med enhet.

Eksempel: gjerde mot en vegg

Du har 40 m gjerde og vil gjerde inn et rektangel mot en vegg (veggen er den ene langsiden). Med bredde $x$ blir lengden $40 - 2x$, og arealet $A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$. $A'(x) = 40 - 4x = 0$ gir $x = 10$ m. Da er lengden 20 m og arealet $A(10) = 200$ m².

Eksempel: eske av en plate

Fra en kvadratisk plate med side 30 cm klipper du bort kvadrater med side $x$ i hjørnene og bretter opp. Volumet er $V(x) = x(30 - 2x)^2$, der $0 < x < 15$. $V'(x) = 0$ gir $x = 5$ cm og $V = 2000$ cm³.

Øv på optimering i appen →

8. Parameterframstillinger

Hva handler det om?

En parameterframstilling beskriver en kurve ved at både $x$ og $y$ er funksjoner av en parameter $t$ (ofte tiden). Tenk på en ball eller en drone: posisjonen er $\vec r(t) = [x(t), y(t)]$.

Begreper og formler

• Rett linje gjennom punktet $P(x_0, y_0)$ med retningsvektor $[a, b]$: $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$.
• Fartsvektoren er den deriverte: $\vec v(t) = \vec{r}^{\,\prime}(t) = [x'(t), y'(t)]$. Den peker langs tangenten.
• Farten (banefarten) er lengden: $|\vec v(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$.
• Akselerasjonen: $\vec a(t) = \vec{v}^{\,\prime}(t)$.
• Sirkel med sentrum i origo og radius $r$: $[r\cos t, r\sin t]$.
• Kurven skjærer $y$-aksen når $x(t) = 0$ og $x$-aksen når $y(t) = 0$.

Eksempel

$\vec r(t) = [2t, t^2]$. Da er $\vec v(t) = [2, 2t]$, og ved $t = 2$ er farten $|[2, 4]| = \sqrt{20} \approx 4{,}47$.

Øv på parameterframstillinger i appen →

9. Logikk og bevis

Hva handler det om?

I matematikk er noe sant først når det er bevist. Du må kunne bruke symbolene for implikasjon og ekvivalens riktig, og føre enkle bevis.

Begreper og formler

• $A \Rightarrow B$ (implikasjon): hvis $A$ er sann, er $B$ sann. Eksempel: $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$.
• $A \Leftarrow B$: pilen går den andre veien. $x^2 = 9 \Leftarrow x = 3$.
• $A \Leftrightarrow B$ (ekvivalens): begge veier. $2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3$.
• $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ er galt, for $x = -3$ er et moteksempel.
• Direkte bevis: start med det du vet, og regn deg fram til påstanden.
• Kontrapositivt bevis: $A \Rightarrow B$ er det samme som $\text{ikke } B \Rightarrow \text{ikke } A$.
• Motsigelsesbevis: anta at påstanden er gal, og vis at det fører til noe umulig.
• Moteksempel: ett eksempel er nok til å vise at en påstand er gal.

Eksempel: direkte bevis

Påstand: summen av tre påfølgende heltall er delelig med 3. Bevis: $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$, som er delelig med 3. $\blacksquare$

Eksempel: partall

Et partall kan skrives $2n$ og et oddetall $2n + 1$. Summen av to oddetall: $(2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)$, altså et partall.

Øv på logikk og bevis i appen →