Matematikk S1: gratis øving, teori og oppgaver

1. Algebra og likninger

Hva handler det om?

I S1 trenger du sikker algebra: brøker med bokstaver, faktorisering og likninger av første og andre grad, også med brøk.

Begreper og formler

• Brøkregler: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$, $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$, $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$.
• Faktoriser før du forkorter: $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ (for $x \ne 2$).
• Likninger med brøk: gang alle ledd med fellesnevneren, og sjekk at løsningen ikke gjør en nevner lik null.
• Ulikheter: snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med et negativt tall.

Øv på algebra og likninger i appen →

2. Funksjoner og modeller

Hva handler det om?

Mange sammenhenger i samfunn og økonomi kan beskrives med funksjoner: kostnader, inntekter, befolkningsvekst og priser.

Begreper og formler

• Lineær modell: fast økning per enhet, $f(x) = ax + b$.
• Eksponentiell modell: fast prosentvis økning, $f(x) = a \cdot b^x$. Vekstfaktor $b = 1 + p/100$.
• Kostnad $K(x)$, inntekt $I(x) = p \cdot x$ og overskudd $O(x) = I(x) - K(x)$.
• Nullpunktet til overskuddet er der det går i balanse (break-even).

Øv på funksjoner og modeller i appen →

3. Derivasjon og optimering

Hva handler det om?

Den deriverte viser hvor raskt noe endrer seg. I økonomi brukes den til å finne hvilken produksjon som gir størst overskudd.

Begreper og formler

• $(ax^n)' = anx^{n-1}$.
• Grensekostnad $K'(x)$: hvor mye det koster å lage én enhet til. Grenseinntekt $I'(x)$.
• Størst overskudd der $O'(x) = 0$, altså der grenseinntekt = grensekostnad.
• For $O(x) = -ax^2 + bx - c$ (med $a > 0$) er toppunktet i $x = \dfrac{b}{2a}$.

Øv på derivasjon og optimering i appen →

4. Sannsynlighet

Hva handler det om?

Sannsynlighet beskriver hvor sannsynlig noe er, fra 0 (umulig) til 1 (sikkert).

Begreper og formler

• Uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Komplementsetningen: $P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$.
• Kombinasjoner: $\binom{n}{k}$ måter å velge $k$ av $n$ uten rekkefølge.
• Hypergeometrisk: trekning uten tilbakelegging fra to grupper.

Øv på sannsynlighet i appen →

5. Ulikheter og fortegnslinjer

🔗 Felles pensum med 1T. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

En ulikhet spør for hvilke $x$ noe er større eller mindre enn noe annet. Svaret er et helt område av tall, ikke ett tall. Det viktigste verktøyet er fortegnslinjen: du finner der uttrykket er null eller ikke definert, og sjekker fortegnet mellom disse punktene.

Begreper og formler

• Lineær ulikhet løses som en likning, men snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med et negativt tall: $-2x > 6 \Rightarrow x < -3$.
• Andregradsulikhet: flytt alt over på én side, faktoriser $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ og lag fortegnslinje for hver faktor.
• Et produkt er positivt når det er et partall antall negative faktorer.
• Brøkulikhet $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$: nullpunktene til $Q$ er aldri med i løsningen (der er brøken ikke definert). Gang aldri med et uttrykk du ikke vet fortegnet til.
• Skrivemåter: $x < 2$ kan også skrives $\langle \leftarrow, 2 \rangle$, og $1 \le x \le 4$ som $[1, 4]$.

Eksempel 1

Løs $x^2 - 5x + 4 < 0$. Nullpunktene er $x = 1$ og $x = 4$, så $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$. Fortegnslinje: begge faktorene er negative for $x < 1$ (produkt positivt), én er negativ mellom 1 og 4 (produkt negativt), ingen er negative for $x > 4$. Løsning: $1 < x < 4$.

Eksempel 2

Løs $\dfrac{x + 3}{x - 1} \ge 0$. Telleren er null i $x = -3$ (tas med), nevneren er null i $x = 1$ (tas aldri med). Løsning: $x \le -3$ eller $x > 1$.

Øv på ulikheter og fortegnslinjer i appen →

6. Logaritmer og eksponentiallikninger

🔗 Felles pensum med R1. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

Logaritmen svarer på spørsmålet «hvilken eksponent trenger jeg?». Den brukes for å løse likninger der den ukjente står i eksponenten, for eksempel ved vekst og nedbrytning.

Begreper og formler

• $\lg a = x \iff 10^x = a$, og $\ln a = x \iff e^x = a$.
• $\lg(ab) = \lg a + \lg b$, $\lg\dfrac{a}{b} = \lg a - \lg b$, $\lg a^n = n \lg a$ (tilsvarende for $\ln$).
• $e^{kx} = a$ gir $x = \dfrac{\ln a}{k}$.
• Eksponentiell vekst: $f(x) = a \cdot b^x$. Vekstfaktoren $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir nedgang.

Eksempel

$3 \cdot 2^x = 48$ gir $2^x = 16$, så $x = \dfrac{\lg 16}{\lg 2} = 4$.

Øv på logaritmer og eksponentiallikninger i appen →

7. Eksponentielle modeller

🔗 Felles pensum med 1T. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

Når noe øker eller minker med samme prosent hver periode, er veksten eksponentiell: befolkning, renter, verdifall på bil, medisin i blodet. Modellen er $f(x) = a \cdot b^x$, der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.

Begreper og formler

• Vekstfaktor ved økning på $p$ %: $b = 1 + \dfrac{p}{100}$. Ved nedgang: $b = 1 - \dfrac{p}{100}$.
• Etter $x$ perioder: $f(x) = a \cdot b^x$. Eksempel: 20 000 kr med 5 % rente i 3 år gir $20\,000 \cdot 1{,}05^3 = 23\,152{,}50$ kr.
• Vekstfaktor fra to målinger: $b = \left(\dfrac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$.
• Når nås et nivå? Løs $a \cdot b^x = c$ med logaritmer: $x = \dfrac{\lg(c/a)}{\lg b}$.
• Lineær modell $ax + b$: samme tall legges til hver periode. Eksponentiell: samme faktor ganges på.
• Prosent og prosentpoeng: går renten fra 2 % til 3 %, øker den med 1 prosentpoeng, men med 50 %.

Eksempel

En bil koster 400 000 kr og taper 15 % av verdien hvert år. Verdien etter $x$ år er $400\,000 \cdot 0{,}85^x$. Etter 4 år: $400\,000 \cdot 0{,}85^4 \approx 208\,800$ kr.

Øv på eksponentielle modeller i appen →

8. Kostnad, inntekt og overskudd

Hva handler det om?

Bedrifter bruker funksjoner for å beskrive hva det koster å produsere $x$ enheter, hva de tjener, og når overskuddet blir størst. Den deriverte kalles her grensekostnad og grenseinntekt.

Begreper og formler

• Kostnadsfunksjon $K(x)$: faste kostnader (konstantleddet) pluss variable kostnader. Eksempel: $K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$.
• Inntektsfunksjon ved fast pris $p$: $I(x) = p \cdot x$.
• Overskudd: $O(x) = I(x) - K(x)$.
• Grensekostnad $K'(x)$: omtrent hva det koster å lage én enhet til. Grenseinntekt $I'(x)$ på samme måte.
• Størst overskudd når $O'(x) = 0$, altså når grenseinntekt = grensekostnad: $I'(x) = K'(x)$.
• Enhetskostnad $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$. Den er minst der $E(x) = K'(x)$.

Eksempel

$K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$ og prisen er 100 kr. $O'(x) = 100 - (0{,}04x + 20) = 0$ gir $x = 2000$ enheter. Overskuddet er da $O(2000) = 200\,000 - (80\,000 + 40\,000 + 5000) = 75\,000$ kr.

Øv på kostnad, inntekt og overskudd i appen →