Alle fag › Innebygde systemer og måleteknikk

Innebygde systemer og måleteknikk: gratis øving, teori og oppgaver

Datamaskiner og mikrokontrollere lagrer og regner med alt som binære tall (0-er og 1-ere). For å lese og skrive kode effektivt bruker ingeniører også heksadesimale tall som en kompakt stenografi for binærtall, og de må vite hvordan negative tall representeres i et fast antall biter. Digital logikk – porter som AND, OR, NOT og XOR – er byggesteinene alle disse operasjonene til slutt bygges av, både i maskinvare og i uttrykk i C-kode.

3 deler56 oppgaver9 begreper forklartPrøveeksamenGratis

Start å øve gratis →

1. Tallsystemer og digital logikk

Hva handler det om?

Begreper og formler

Posisjonssystemer: et siffer på plass $k$ (fra 0, regnet fra høyre) har vekt $b^k$ , der $b$ er grunntallet ( $b=2$ binært, $b=16$ heksadesimalt, $b=10$ desimalt).
Heksadesimalt: sifrene 0–9, A–F (A=10 … F=15). To heksadesimale siffer utgjør nøyaktig én byte (8 bit).
$n$ -bits usignert heltall: verdiområde $0$ til $2^n-1$ .
$n$ -bits signert heltall (toerkomplement): verdiområde $-2^{n-1}$ til $2^{n-1}-1$ . Øverste bit er 1 for negative tall. Et negativt tall $-x$ representeres som det usignerte tallet $2^n - x$ .
Bitvise operatorer i C: & (AND), | (OR), ^ (XOR), ~ (NOT/komplement), <</>> (skift). Skift til venstre med $k$ tilsvarer å gange med $2^k$ .
Logiske porter: AND gir 1 bare når begge innganger er 1. OR gir 1 når minst én inngang er 1. XOR gir 1 når inngangene er ulike. NOT snur en enkelt inngang. NAND/NOR er AND/OR etterfulgt av NOT.
ADC-oppløsning: en $n$ -bits ADC med referansespenning $V_{ref}$ har trinnstørrelse $\Delta = V_{ref}/2^n$ .

Slik løser du oppgavene

Konvertering mellom grunntall: gang hvert siffer med grunntallets potens og summer (til desimalt), eller trekk fra størst mulig potens gjentatte ganger (fra desimalt).
Toerkomplement, negativt tall til bitmønster: regn $2^n - |x|$ og skriv det som et usignert binært/heksadesimalt tall.
Toerkomplement, bitmønster til tall: hvis øverste bit er 1, trekk $2^n$ fra den usignerte verdien.
Bitvise operatorer: skriv ut hvert tall i binær og regn bit for bit.
Logiske porter: sett opp en sannhetstabell hvis du er usikker, eller husk regelen for hver port.

Eksempel

Hva er $-5$ skrevet som 8-bits toerkomplement, i heksadesimalt?

Usignert bitmønster: $2^8 - 5 = 256 - 5 = 251$ .
$251$ i heksadesimalt: $251 = 15\cdot16 + 11 = \mathrm{FB}$ .

Svar: 0xFB.

Vanlige feil

Å glemme at det øverste bitet avgjør fortegnet i toerkomplement, og at man må trekke fra $2^n$ (ikke bare snu fortegnet på biten).
Å blande bitvis AND (&) med logisk AND (&&), eller bitvis OR (|) med logisk OR (||) – de bitvise operatorene jobber bit for bit på hele tallet.
Å tro at en 8-bits usignert verdi kan bli opptil 256 – den største verdien er $255=2^8-1$ .
Å regne ADC-oppløsning med $2^n-1$ i stedet for $2^n$ – standard er trinnstørrelse $\Delta=V_{ref}/2^n$ .

n

-bits usignert tall dekker

0

til

2^n-1

; et

n

-bits signert (toerkomplement) tall dekker

-2^{n-1}

til

2^{n-1}-1

, og et negativt tall

-x

er bitmønsteret til

2^n-x

Begreper i denne delen

TallsystemerDatamaskiner regner internt med binære tall (grunntall 2), men heksadesimale tall (grunntall 16) brukes ofte s…ToerkomplementToerkomplement er standardmåten datamaskiner representerer negative heltall på i et fast antall bit. Det øvers…Logiske porterLogiske porter er byggesteinene i digital elektronikk og programvare: AND gir 1 bare når begge innganger er 1,…

Øv på tallsystemer og digital logikk i appen →

2. Mikrokontrollere

Hva handler det om?

En mikrokontroller er en liten datamaskin på én brikke: prosessor, minne og inn/ut-pinner (GPIO) samlet, laget for å styre og lese av omgivelsene i sanntid. Den kobles til sensorer og aktuatorer via digitale og analoge grensesnitt, holder styr på tid med timere, og reagerer raskt på hendelser med avbrudd. Å forstå klokkefrekvens, kommunikasjonsprotokoller og minnetyper er nødvendig for både å skrive fungerende kode og å anslå om den rekker jobben i tide.

Begreper og formler

GPIO-pinne: en generell inn/ut-pinne som settes opp i programvare som inngang (leser spenning) eller utgang (driver spenning høy/lav).
Pull-up/pull-down-motstand: gir en inngang et definert nivå når ingenting annet driver den (f.eks. en åpen bryter).
PWM: et digitalt signal som svitsjer mellom høy og lav med en bestemt duty cycle $D$ (andelen av perioden signalet er høyt). Gjennomsnittsspenning: $V_{gj} = D\cdot V_{høy}$ .
Klokkefrekvens og instruksjonstid: en instruksjon som tar $c$ klokkesykler på en klokke $f$ , tar tiden $t = c/f$ .
Timer med prescaler $P$ og telleverdi $N$ : periode mellom overflyt $= (N+1)\cdot P/f_{klokke}$ .
UART: asynkron seriell kommunikasjon (ingen felles klokke), med en baudrate og et fast antall bit per overført ord (f.eks. 1 start + 8 data + 1 stopp = 10 bit).
SPI: synkron, med felles klokke (SCK), egen chip select (CS) per enhet, datalinjer MOSI/MISO. Ingen start-/stoppbit, så gjennomstrømning $= f_{SCK}/8$ byte/s.
I²C: synkron, to linjer (SDA, SCL) med åpen-drain-utganger og pull-up-motstander – enhetene kan bare trekke linjen lav, aldri drive den aktivt høy, derfor trengs pull-up for å få linjen høy igjen.
Avbrudd (interrupt): CPU-en hopper til en avbruddsrutine (ISR) når en hendelse skjer, i stedet for å sjekke (polle) kontinuerlig.
Minne: RAM er flyktig (mister innhold uten strøm, brukes til variabler), flash/EEPROM er ikke-flyktig (beholder innhold, brukes til programkode/lagrede data).

Slik løser du oppgavene

Identifiser hva slags størrelse du skal finne: spenning/duty cycle, tidsintervall, eller byte-/bitrate.
For PWM: bruk $V_{gj}=D\cdot V_{høy}$ , eller finn $D$ fra pulslengde delt på periode.
For timing: regn ut tid per klokkesykel ( $1/f$ ) og gang med antall sykler eller instruksjoner.
For kommunikasjon: tell bit per overført enhet (UART har start-/stoppbit, SPI og I²C har det normalt ikke) og del klokkefrekvensen på det tallet.
Sjekk om svaret er realistisk: mikrosekunder for enkeltinstruksjoner, millisekunder for typiske timerperioder.

Eksempel

Et program med 200 instruksjoner, hver på 4 klokkesykler, kjører på en mikrokontroller med klokkefrekvens 8 MHz. Hvor lang tid tar programmet?

Totalt antall sykler: $200\cdot4=800$ .
Tid per sykel: $1/(8\cdot10^6) = 0{,}125$ µs.
Total tid: $800\cdot0{,}125 = 100$ µs.

Svar: 100 µs.

Vanlige feil

Å telle start- og stoppbit for SPI/I²C, som ikke har dem (bare UART har det).
Å glemme å legge til 1 i telleverdien for en timer ( $N+1$ sykler, siden telleren starter på 0).
Å blande MHz og Hz, eller µs og ms, i samme utregning.
Å tro at en pull-up-motstand trengs på alle digitale utganger – den trengs bare der ingenting aktivt driver linjen (åpne brytere, I²C-linjer).

Instruksjonstid

=

sykler delt på klokkefrekvens. Kommunikasjonshastighet

=

klokkefrekvens delt på antall bit per overført enhet (husk start-/stoppbit for UART, ikke for SPI/I²C).

Begreper i denne delen

Pull-up-motstandEn digital inngang som ikke er koblet til noe bestemt kan «flyte» og lese tilfeldige verdier. En pull-up-motst…PWMEt PWM-signal svitsjer raskt mellom høy og lav spenning med en bestemt duty cycle, altså andelen av perioden s…Seriell kommunikasjonUART, SPI og I²C er de vanligste seriellprotokollene mellom en mikrokontroller og eksterne enheter. UART er as…

Øv på mikrokontrollere i appen →

3. Måleteknikk

Hva handler det om?

Måleteknikk handler om å gå fra en fysisk størrelse (temperatur, kraft, lys, bevegelse) til et pålitelig digitalt tall en mikrokontroller kan bruke. Underveis må du velge riktig sensor, forsterke/kondisjonere signalet, sample det med riktig frekvens og filtrere mot støy og aliasing – og du må vite hvor mye du kan stole på resultatet (nøyaktighet, presisjon, oppløsning).

Begreper og formler

Sensitivitet (følsomhet): endringen i sensorens utgang per enhet endring i målestørrelsen, f.eks. mV/°C.
Nøyaktighet vs. presisjon: nøyaktighet er hvor nær målingene er den sanne verdien (systematisk feil), presisjon er hvor tett målingene er samlet (spredning/støy).
Nyquist-kriteriet: samplingsfrekvensen $f_s$ må være mer enn to ganger den høyeste frekvenskomponenten i signalet, $f_s > 2f_{maks}$ , ellers oppstår aliasing.
Aliasing: et signal med frekvens $f > f_s/2$ ser etter sampling ut som en lavere frekvens $|f_s\cdot k - f|$ for et helt tall $k$ (det som ligger nærmest 0).
Anti-aliasing-filter: et lavpassfilter foran ADC-en som demper frekvenser over $f_s/2$ før sampling. Dempningen ved en frekvens $f$ for ett enkelt RC-ledd er $20\log_{10}\big(1/\sqrt{1+(f/f_c)^2}\big)$ dB.
Wheatstone-bro: fire motstander i en brokobling gjør en liten motstandsendring $\Delta R$ (f.eks. fra en strekklapp) om til en målbar differansespenning.
Strekklapp: $\Delta R = GF\cdot\varepsilon\cdot R$ , der $GF$ er gauge factor og $\varepsilon$ er tøyningen.
RTD (f.eks. PT100): motstanden øker tilnærmet lineært med temperaturen, $R(T) \approx R_0+\alpha R_0 T$ , med $R_0=100$ Ω og $\alpha\approx 0{,}385$ Ω/°C for PT100.
Termoelement: gir en liten spenning fra Seebeck-effekten, proporsjonal med temperaturforskjellen mellom to sammenføyninger.
Kvantiseringsfeil: for en $n$ -bits ADC med referanse $V_{ref}$ er maksimal feil $\pm\tfrac12$ LSB $=\pm\tfrac12\cdot V_{ref}/2^n$ .

Slik løser du oppgavene

Avgjør hvilket begrep oppgaven handler om: sampling/aliasing, sensor/bro, eller ADC-oppløsning.
Sampling: sjekk om $f_s>2f_{maks}$ . Hvis ikke, finn alias-frekvensen ved å folde $f$ om $f_s/2$ .
Anti-aliasing-filter: sett $f$ og $f_c$ inn i dB-formelen, eller finn $f_c$ fra ønsket dempning.
RTD: sett temperaturen inn i $R(T)=R_0+\alpha R_0 T$ .
Strekklapp/bro: bruk $\Delta R = GF\cdot\varepsilon\cdot R$ direkte, eller regn ut broens differansespenning fra $\Delta R$ .

Eksempel

En PT100-sensor har $R_0=100$ Ω og $\alpha\approx 0{,}385$ Ω/°C. Hvor stor motstand har den ved 80 °C?

Sett inn i formelen: $R = R_0 + \alpha R_0\cdot T = 100 + 0{,}385\cdot80$ .
$R = 100 + 30{,}8 = 130{,}8$ Ω.

Svar: 130,8 Ω.

Vanlige feil

Å bruke $f_s \ge 2f_{maks}$ i stedet for $f_s>2f_{maks}$ (ved akkurat Nyquist-frekvensen er signalet fortsatt tvetydig).
Å glemme anti-aliasing-filteret og tro at man kan fjerne alias-frekvenser i etterkant – det kan man ikke, informasjonen er borte etter sampling.
Å forveksle nøyaktighet (liten systematisk feil) med presisjon (liten spredning) – en sensor kan være presis uten å være nøyaktig.
Å bruke $2^n-1$ i stedet for $2^n$ i kvantiseringsformelen (standard er trinnstørrelse $V_{ref}/2^n$ ).

Sample alltid raskere enn

2f_{maks}

, og filtrer bort alt over

f_s/2

*før* sampling – aliasing kan ikke fjernes etterpå. Presis er ikke det samme som nøyaktig.

Begreper i denne delen

Nøyaktighet og presisjonNøyaktighet forteller hvor nær målingene i gjennomsnitt er den sanne verdien, altså hvor liten den systematisk…Sampling og NyquistFor å digitalisere et signal riktig må vi ta nok prøver per sekund. Nyquist-kriteriet sier at samplingsfrekven…Wheatstone-broEn Wheatstone-bro består av fire motstander koblet i en diamantform, og brukes til å måle svært små motstandse…

Øv på måleteknikk i appen →

Eksempeloppgaver med løsning

Her er noen av oppgavene i innebygde systemer og måleteknikk. I appen får regneoppgavene nye tall hver gang, så du kan øve til det sitter – og ta en prøveeksamen med karakter før eksamen.

Tallsystemer og digital logikk: Hva er 0x1F i titallssystemet?

Svar: 31

$1\cdot16 + 15 = 31$ .

Mikrokontrollere: Et PWM-signal på 5 V har 25 % duty cycle. Hva er gjennomsnittsspenningen?

Svar: 1,25 V

$0{,}25\cdot 5 = 1{,}25$ V.

Måleteknikk: Nyquist-kriteriet sier at samplingsfrekvensen må være …

Svar: større enn 2 ganger den høyeste frekvensen i signalet

Ellers får du aliasing.

Tallsystemer og digital logikk: Hva er binærtallet 1010 i titallssystemet?

Svar: 10

$8 + 2 = 10$ .

Øv på alle oppgavene →

Passer for disse emnene

Innholdet dekker pensum som går igjen i ingeniørutdanningene, blant annet:

ELFT2500 (OsloMet)
FYS103 (NMBU)