Fasthetslære: gratis øving, teori og oppgaver

1. Spenning og tøyning

Hva handler det om?

Fasthetslære handler om hvordan materialer oppfører seg når de belastes: hvor stor spenning som oppstår inni materialet, og hvor mye det deformeres. Mens statikken i MAPE1300 finner de ytre kreftene og opplagerkreftene, går fasthetslæren videre og spør om materialet faktisk tåler dem. Dette er grunnlaget for å dimensjonere staver, wire, bolter og aksler slik at de verken flyter eller går i brudd.

Det enkleste og viktigste tilfellet er en rett stav belastet med en aksiell kraft: kraften er (tilnærmet) jevnt fordelt over tverrsnittet, og sammenhengen mellom spenning og tøyning er lineær helt til materialet begynner å flyte.

Begreper og formler

• Normalspenning: $\sigma = F/A$, målt i N/mm² = MPa.
• Tøyning: $\varepsilon = \Delta L/L$ (dimensjonsløs, ofte oppgitt i promille).
• Hookes lov i det elastiske området: $\sigma = E\varepsilon$.
• Forlengelse: $\delta = \dfrac{FL}{AE}$.
• Skjærspenning $\tau = F/A$ (kraften virker parallelt med snittflaten) og skjærtøyning $\gamma$, med $\tau = G\gamma$.
• Sammenheng mellom E-modul, skjærmodul og Poissons tall: $G = \dfrac{E}{2(1+\nu)}$.
• Termisk tøyning: $\varepsilon_T = \alpha\Delta T$. Kan staven utvide seg fritt, blir spenningen null. Er den fasthold i begge ender, oppstår $\sigma = E\alpha\Delta T$.
• Flytegrense $R_e$, strekkfasthet $R_m$ og sikkerhetsfaktor $n = R_e/\sigma$.

Slik løser du oppgavene

1. Finn tverrsnittsarealet $A$ og den aksielle kraften $F$ som virker i snittet.
2. Regn normalspenningen $\sigma = F/A$, og sammenlign med $R_e/n$ hvis du skal vurdere sikkerhet.
3. Finn tøyningen $\varepsilon = \sigma/E$ og forlengelsen $\delta = \varepsilon L$.
4. Ved temperaturendring: avgjør først om staven kan utvide seg fritt (ingen spenning) eller er fasthold (spenning $E\alpha\Delta T$).
5. Består staven av flere segmenter (ulik lengde, areal eller materiale), regn forlengelsen til hvert segment for seg og summer dem.

Eksempel

En stålstav med diameter 12 mm og lengde 800 mm belastes med 15 kN strekk. $E = 210$ GPa. Finn spenning, tøyning og forlengelse.

1. Areal: $A = \pi(6\text{ mm})^2 \approx 113{,}1$ mm².
2. Spenning: $\sigma = F/A = 15\,000/113{,}1 \approx 132{,}6$ MPa.
3. Tøyning: $\varepsilon = \sigma/E = 132{,}6/210\,000 \approx 0{,}632$ ‰.
4. Forlengelse: $\delta = \varepsilon L \approx 0{,}000632\cdot 800 \approx 0{,}505$ mm.

Svar: $\sigma \approx 132{,}6$ MPa, $\varepsilon \approx 0{,}632$ ‰ og $\delta \approx 0{,}505$ mm.

Vanlige feil

• Å tro at en fritt bevegelig stav får termisk spenning når den varmes opp. Den får bare spenning når utvidelsen hindres.
• Å blande mm og m, eller GPa og MPa, i samme uttrykk.
• Å bruke radius når oppgaven oppgir diameter (eller omvendt) i arealformelen $A = \pi d^2/4$.
• Å bruke Hookes lov ($\sigma = E\varepsilon$) for spenninger over flytegrensen, der den ikke lenger gjelder.

Begreper i denne delen

Øv på spenning og tøyning i appen →

2. Torsjon og bøyning

Hva handler det om?

Aksler overfører moment ved å vris (torsjon), og bjelker overfører tverrlast ved å bøyes. Begge deler gir spenninger som IKKE er jevnt fordelt over tverrsnittet, i motsetning til den rene strekk-/trykkspenningen fra forrige enhet: spenningen er null i et sentralt punkt (senteret i torsjon, nøytralaksen i bøyning) og størst lengst unna. Det er nettopp derfor formen på tverrsnittet betyr så mye for hvor stivt og sterkt en aksel eller bjelke blir.

Begreper og formler

• Torsjon i en sirkulær aksel: skjærspenningen er lineær med avstanden fra senteret, $\tau = \dfrac{Tr}{J}$, størst i overflaten: $\tau_{maks} = \dfrac{T(d/2)}{J} = \dfrac{16T}{\pi d^3}$.
• Polart arealtreghetsmoment for massiv sirkulær aksel: $J = \dfrac{\pi d^4}{32}$. For hul aksel (ytre $D$, indre $d$): $J = \dfrac{\pi(D^4-d^4)}{32}$.
• Vridningsvinkel over lengden $L$: $\theta = \dfrac{TL}{GJ}$ (radianer).
• Bøyespenning i avstand $y$ fra nøytralaksen: $\sigma = \dfrac{My}{I}$, størst i ytterfiberen: $\sigma_{maks} = M/W$, med $W = I/y_{maks}$.
• Skjærspenning i en bjelke under bøyning er størst i nøytralaksen (for rektangel: $\tau_{maks} = 1{,}5V/A$), ikke i ytterfibrene der bøyespenningen er størst.
• Effekt og moment: $P = T\omega$, der $\omega$ er vinkelhastigheten i rad/s.

Slik løser du oppgavene

1. Torsjon: finn $J$ for tverrsnittet, regn $\tau_{maks}$ i overflaten og eventuelt $\theta$ over den aktuelle lengden.
2. Bøyning: finn $I$ for tverrsnittet og avstanden $y_{maks}$ til ytterfiberen (eller bruk $W$ direkte), regn $\sigma_{maks} = M/W$.
3. Ved dimensjonering (finn nødvendig diameter): snu formelen om, for eksempel $d = \sqrt[3]{16T/(\pi\tau_{tillatt})}$.
4. Hold styr på enheter: bruk N og mm konsekvent, så blir $\sigma$ og $\tau$ direkte i MPa.
5. Kontroller at svaret er rimelig: skjærspenningen er null i senteret av en aksel og null på nøytralaksen i bøyning, størst i overflaten/ytterfiberen.

Eksempel

En massiv stålaksel ($G = 80$ GPa) har diameter 50 mm og lengde 1,5 m. Den overfører et vridningsmoment på 800 Nm. Finn maksimal skjærspenning og vridningsvinkelen.

1. Polart arealtreghetsmoment: $J = \pi\cdot 50^4/32 \approx 613\,592$ mm⁴.
2. Maksimal skjærspenning: $\tau_{maks} = T(d/2)/J = 800\,000\cdot 25/613\,592 \approx 32{,}6$ MPa.
3. Vridningsvinkel: $\theta = TL/(GJ) = 800\,000\cdot 1500/(80\,000\cdot 613\,592) \approx 0{,}0244$ rad $\approx 1{,}40^\circ$.

Svar: $\tau_{maks} \approx 32{,}6$ MPa og $\theta \approx 1{,}40^\circ$.

Vanlige feil

• Å bruke $J = \pi d^4/64$ (det er $I$, arealtreghetsmomentet om en diameter) i stedet for $J = \pi d^4/32$ i torsjonsformelen.
• Å tro at skjærspenningen i torsjon er størst i senteret. Den er null der og størst i overflaten.
• Å tro at bøyespenningen er størst i nøytralaksen. Det er omvendt: $\sigma = 0$ i nøytralaksen, størst i ytterfiberen.
• Å blande grader og radianer i $\theta = TL/(GJ)$ – formelen gir radianer.
• Å glemme at doble diameteren gir 16 ganger så stor $J$ (og dermed 16 ganger så mye moment for samme $\tau_{maks}$).

Begreper i denne delen

Øv på torsjon og bøyning i appen →

3. Spenningstransformasjon og knekking

Hva handler det om?

I et hvilket som helst punkt i et belastet legeme ser spenningen forskjellig ut avhengig av hvilket snitt du ser på. Spenningstransformasjon handler om å finne de verste retningene: hovedspenningene (størst og minst normalspenning, uten skjær) og den største skjærspenningen. Det trengs for å avgjøre om et duktilt eller sprøtt materiale flyter eller brister, siden mange materialer ikke bryr seg om spenningen i én bestemt retning, men om en kombinasjon av alle.

Knekking er noe helt annet: en slank søyle i trykk kan bøye seg ut til siden og kollapse lenge før materialet i seg selv har nådd flytegrensen. Det er en stabilitetssvikt, ikke en styrkesvikt, og avhenger sterkt av søylens lengde og opplagringsbetingelser.

Begreper og formler

• Plan spenningstilstand: $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$. Senter i Mohrs sirkel: $c = (\sigma_x+\sigma_y)/2$. Radius: $R = \sqrt{((\sigma_x-\sigma_y)/2)^2+\tau_{xy}^2}$.
• Hovedspenninger: $\sigma_{1,2} = c \pm R$ (skjærspenningen er null i disse retningene). Største skjærspenning i planet: $\tau_{maks} = R$.
• Von Mises-spenning (plan tilstand): $\sigma_v = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$ for en enakset spenning $\sigma$ kombinert med skjær $\tau$, mer generelt $\sigma_v=\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}$. Flyt inntreffer når $\sigma_v = R_e$.
• Trescas kriterium: flyt når $\tau_{maks} = R_e/2$, noe mer konservativt enn von Mises.
• Treghetsradius: $i = \sqrt{I/A}$. Slankhetsforhold: $\lambda = L_e/i$, der $L_e = KL$ er effektiv knekklengde.
• Effektiv lengdefaktor $K$: leddet–leddet $K=1$, innspent–innspent $K=0{,}5$, innspent–leddet $K\approx0{,}7$, innspent–fri $K=2$.
• Eulers knekklast: $P_{cr} = \dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$, gyldig når søylen fortsatt er elastisk (høy slankhet).

Slik løser du oppgavene

1. Spenningstransformasjon: regn senter $c$ og radius $R$ i Mohrs sirkel, og finn $\sigma_{1,2} = c\pm R$ og $\tau_{maks} = R$.
2. For flytevurdering: sett hovedspenningene inn i von Mises- eller Tresca-uttrykket og sammenlign med $R_e$ (eventuelt del på sikkerhetsfaktor).
3. Knekking: finn riktig $K$ ut fra opplagringen, regn $L_e = KL$, og sett inn i Eulers formel.
4. Treghetsradius og slankhet brukes til å avgjøre om Eulers formel i det hele tatt gjelder (høy $\lambda$) eller om søylen heller vil flyte.
5. Kontroller størrelsesorden: en dobling av knekklengden gir en firedel av knekklasten, ikke en halvering.

Eksempel

Et punkt har $\sigma_x = 80$ MPa, $\sigma_y = -20$ MPa og $\tau_{xy} = 30$ MPa. Finn hovedspenningene og den maksimale skjærspenningen.

1. Senter: $c = (80-20)/2 = 30$ MPa.
2. Radius: $R = \sqrt{((80-(-20))/2)^2+30^2} = \sqrt{50^2+30^2} \approx 58{,}3$ MPa.
3. Hovedspenninger: $\sigma_1 = 30+58{,}3 \approx 88{,}3$ MPa, $\sigma_2 = 30-58{,}3 \approx -28{,}3$ MPa.
4. Maksimal skjærspenning i planet: $\tau_{maks} = R \approx 58{,}3$ MPa.

Svar: $\sigma_1 \approx 88{,}3$ MPa, $\sigma_2 \approx -28{,}3$ MPa, $\tau_{maks} \approx 58{,}3$ MPa.

Vanlige feil

• Å bruke $(\sigma_x-\sigma_y)$ i stedet for $(\sigma_x-\sigma_y)/2$ i radiusformelen.
• Å tro at høyeste skjærspenning i rommet er lik $R$ i den plane sirkelen – i 3D kan den egentlige maksimale skjærspenningen være større hvis $\sigma_2$ og $\sigma_3=0$ har motsatt fortegn.
• Å bruke feil $K$-faktor, spesielt å forveksle leddet–leddet ($K=1$) med innspent–fri ($K=2$).
• Å tro at knekklasten er proporsjonal med lengden. Den er omvendt proporsjonal med lengden i annen.
• Å bruke Eulers formel for en kort, tykk søyle som egentlig flyter før den knekker.

Begreper i denne delen

Øv på spenningstransformasjon og knekking i appen →