Lineær algebra og differensialligninger: gratis øving, teori og oppgaver

1. Matriser

Hva handler det om?

En matrise er en tabell med tall, men den viktigste tolkningen er at den er en lineær avbildning: $A$ tar en vektor $\vec x$ og gir en ny vektor $A\vec x$. Et fagverk, en elektrisk krets eller en FEM-modell ender til slutt som et stort matrisesystem. Determinanten forteller om avbildningen kan reverseres, og den inverse matrisen reverserer den.

Begreper og formler

• En $m\times n$-matrise har $m$ rader og $n$ kolonner. $AB$ er definert når antall kolonner i $A$ er lik antall rader i $B$: $(m\times n)(n\times p)$ gir $m\times p$.
• Elementet $(AB)_{ij}$ er rad $i$ i $A$ prikket med kolonne $j$ i $B$. Generelt er $AB \neq BA$.
• Transponert: $(A^T)_{ij} = A_{ji}$, og $(AB)^T = B^TA^T$.
• Determinant: $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc$. For $3\times 3$ brukes kofaktorutvikling langs en rad eller kolonne.
• Regneregler: $\det(AB) = \det A\cdot\det B$, $\det A^T = \det A$ og $\det(kA) = k^n\det A$ for en $n\times n$-matrise. Et radbytte skifter fortegn.
• $|\det A|$ er faktoren som areal (2D) eller volum (3D) skaleres med.
• Invers: $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Den finnes bare når $\det A \neq 0$. For $2\times 2$: bytt diagonalelementene, skift fortegn på de andre og del på determinanten.
• Vektorer: $\vec u\cdot\vec v = |\vec u||\vec v|\cos\theta$ og $|\vec u| = \sqrt{\vec u\cdot\vec u}$. Kryssproduktet $\vec u\times\vec v$ står vinkelrett på begge, og lengden er arealet av parallellogrammet de utspenner.

Slik løser du oppgavene

1. Skriv opp dimensjonene først, så du ser om produktet er definert og hvor stort det blir.
2. Regn produkter element for element: rad ganger kolonne.
3. $3\times 3$-determinant: utvikle langs raden eller kolonnen med flest nuller. For trekantmatriser er determinanten produktet av diagonalen.
4. Invers: sjekk at $\det A \neq 0$ først, og kontroller svaret med $AA^{-1} = I$.
5. Små systemer $A\vec x = \vec b$ kan løses med $\vec x = A^{-1}\vec b$. Store systemer løses med eliminasjon.

Eksempel

Løs $A\vec x = \vec b$ med $A = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ og $\vec b = (4, 7)$.

1. $\det A = 3\cdot 2 - 1\cdot 5 = 1 \neq 0$, så $A$ er inverterbar.
2. $A^{-1} = \frac11\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$.
3. $\vec x = A^{-1}\vec b = (2\cdot 4 - 1\cdot 7,\ -5\cdot 4 + 3\cdot 7) = (1, 1)$.
4. Kontroll: $3 + 1 = 4$ og $5 + 2 = 7$. Riktig.

Vanlige feil

• Å gange element for element i stedet for rad ganger kolonne.
• Å bytte rekkefølge: $AB$ og $BA$ er vanligvis forskjellige, og $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
• Å tro at $\det(A + B) = \det A + \det B$. Det stemmer ikke.
• Å glemme at $\det(2A) = 2^n\det A$, ikke $2\det A$.
• Å blande prikkprodukt (et tall) og kryssprodukt (en vektor).

Begreper i denne delen

Øv på matriser i appen →

2. Lineære systemer og egenverdier

Hva handler det om?

Mange ingeniørproblemer ender i et lineært ligningssystem $A\vec x = \vec b$: strømmer i en krets, stavkrefter i et fagverk, temperaturer i et nett av punkter. Gauss-eliminasjon løser slike systemer systematisk og forteller om det finnes én, ingen eller uendelig mange løsninger.

Egenverdier handler om de spesielle retningene der en matrise bare strekker eller krymper: $A\vec v = \lambda\vec v$. De bestemmer egenfrekvenser i svingesystemer, stabilitet i reguleringssystemer og langtidsoppførselen til modeller som oppdateres steg for steg.

Begreper og formler

• Radoperasjoner (bytte to rader, gange en rad med et tall ulikt 0, legge et multiplum av en rad til en annen) endrer ikke løsningsmengden.
• Trappeform: hver pivot står til høyre for pivoten i raden over. Rangen $r$ er antall pivoter.
• Tre tilfeller for $n$ ukjente: en rad $[0\ \cdots\ 0 \mid c]$ med $c \neq 0$ gir ingen løsning. Ellers gir $r = n$ nøyaktig én løsning, og $r < n$ gir uendelig mange med $n - r$ frie variabler.
• Egenverdier: løs $\det(A - \lambda I) = 0$. For $2\times 2$ er dette $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = 0$.
• Egenvektorer: løs $(A - \lambda I)\vec v = \vec 0$ for hver egenverdi.
• Summen av egenverdiene er sporet, og produktet er determinanten.
• Diagonalisering: $A = PDP^{-1}$ med egenvektorene som kolonner i $P$ og egenverdiene på diagonalen i $D$. Da er $A^k = PD^kP^{-1}$.

Slik løser du oppgavene

1. Skriv totalmatrisen $[A \mid \vec b]$ og eliminer nedover til trappeform.
2. Les av: motsigelse, frie variabler eller entydig løsning. Løs baklengs fra nederste rad.
3. Egenverdier: sett opp den karakteristiske ligningen og løs den.
4. For hver egenverdi: finn en vektor ulik null som oppfyller $(A - \lambda I)\vec v = \vec 0$. Radene er da lineært avhengige, så én av dem holder for en $2\times 2$-matrise.
5. Kontroller med spor og determinant, og ved å regne ut $A\vec v$.

Eksempel

Finn egenverdiene og egenvektorene til $A = \begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix}$.

1. $\operatorname{tr}A = 7$ og $\det A = 10 - 4 = 6$, så $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 1)(\lambda - 6) = 0$.
2. $\lambda = 6$: $A - 6I = \begin{pmatrix}-1&2\\2&-4\end{pmatrix}$. Første rad gir $-v_1 + 2v_2 = 0$, altså $\vec v = (2, 1)$.
3. $\lambda = 1$: $A - I = \begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}$ gir $2v_1 + v_2 = 0$, altså $\vec v = (1, -2)$.
4. Kontroll: $A(2, 1) = (12, 6) = 6\cdot(2, 1)$. Egenvektorene står vinkelrett på hverandre, som ventet for en symmetrisk matrise.

Vanlige feil

• Å gjøre en regnefeil i eliminasjonen og ikke kontrollere ved innsetting.
• Å tro at en nullrad alltid betyr uendelig mange løsninger. Står det $0 = c$ med $c \neq 0$, finnes ingen løsning.
• Å regne $\det A - \lambda$ i stedet for $\det(A - \lambda I)$.
• Å oppgi nullvektoren som egenvektor.
• Å glemme at egenvektorer bare er bestemt opp til en faktor: $(2, 1)$ og $(4, 2)$ er like gode.

Begreper i denne delen

Øv på lineære systemer og egenverdier i appen →

3. Differensialligninger

Hva handler det om?

En differensialligning knytter en ukjent funksjon til sine egne deriverte. Den beskriver hvordan noe endrer seg: en kondensator som lades, en kopp som kjøles, en masse som svinger på en fjær. Å løse ligningen betyr å finne funksjonen. Startbetingelsene plukker ut den ene løsningen som passer situasjonen.

Begreper og formler

• Orden: den høyeste deriverte som forekommer. En ligning av orden $n$ trenger $n$ startbetingelser.
• Separabel: $y' = g(x)h(y)$ løses med $\int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$.
• Lineær av første orden: $y' + p(x)y = q(x)$. Gang hele ligningen med den integrerende faktoren $\mu = e^{\int p\,dx}$. Da blir venstresiden $(\mu y)'$.
• $y' = -k(y - y_\infty)$ har løsningen $y = y_\infty + (y_0 - y_\infty)e^{-kt}$. Den beskriver kjøling og opplading.
• Andre orden med konstante koeffisienter: $y'' + py' + qy = 0$. Prøv $y = e^{rx}$, som gir den karakteristiske ligningen $r^2 + pr + q = 0$.
• To ulike reelle røtter: $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$.
• Dobbel rot: $y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$.
• Komplekse røtter $r = \alpha \pm i\beta$: $y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$.
• Inhomogen ligning: $y = y_h + y_p$, der $y_p$ er én partikulær løsning. Gjett en $y_p$ av samme type som høyresiden.
• Masse–fjær–demper $my'' + cy' + ky = 0$: $c^2 < 4mk$ gir dempede svingninger, $c^2 > 4mk$ gir ingen svingninger (overkritisk demping).

Slik løser du oppgavene

1. Bestem typen: separabel, lineær av første orden eller lineær med konstante koeffisienter.
2. Finn den generelle løsningen, med konstanter.
3. Er ligningen inhomogen, finn $y_p$ og legg den til $y_h$.
4. Bruk startbetingelsene til slutt, på hele løsningen $y_h + y_p$.
5. Kontroller ved å sette løsningen inn i ligningen.

Eksempel

Løs $y'' + 3y' + 2y = 4$ med $y(0) = 0$ og $y'(0) = 0$.

1. Homogen del: $r^2 + 3r + 2 = (r + 1)(r + 2) = 0$ gir $y_h = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$.
2. Høyresiden er konstant, så prøv $y_p = K$: $2K = 4$ gir $K = 2$.
3. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} + 2$. Startbetingelsene gir $C_1 + C_2 + 2 = 0$ og $-C_1 - 2C_2 = 0$.
4. Det gir $C_2 = 2$ og $C_1 = -4$, altså $y = 2 - 4e^{-x} + 2e^{-2x}$.

Løsningen starter i 0 og går mot likevekten $y = 2$ uten å svinge, fordi røttene er reelle og negative.

Vanlige feil

• Å bruke startbetingelsene på $y_h$ før $y_p$ er lagt til.
• Å skrive $C_1e^{rx} + C_2e^{rx}$ ved dobbel rot. Da mangler den ekstra faktoren $x$.
• Å bytte om $\alpha$ og $\beta$ ved komplekse røtter: realdelen gir dempingen, imaginærdelen gir vinkelfrekvensen.
• Å glemme å gange høyresiden med den integrerende faktoren.

Begreper i denne delen

Øv på differensialligninger i appen →