Kalkulus: gratis øving, teori og oppgaver

1. Derivasjon

Hva handler det om?

Den deriverte $f'(x)$ måler hvor raskt en størrelse endrer seg. Geometrisk er den stigningstallet til tangenten i punktet. For en ingeniør er den overalt: fart er den deriverte av posisjon, strøm er den deriverte av ladning, og effekt er den deriverte av energi. Når du leter etter et optimum – minst materialbruk, størst effekt, lavest kostnad – setter du den deriverte lik null.

Formelt er den deriverte grensen av stigningen over et lite intervall:

Begreper og formler

• Potensregelen: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Konstante faktorer står igjen, og konstantledd forsvinner: $(5x^3 + 7)' = 15x^2$.
• Standardderiverte: $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac1x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.
• Produktregelen: $(fg)' = f'g + fg'$.
• Brøkregelen: $\left(\frac fg\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.
• Kjerneregelen: $\big(f(u(x))\big)' = f'(u)\cdot u'(x)$ – ytre derivert ganger indre derivert.
• $f' > 0$: $f$ vokser. $f' < 0$: $f$ avtar. $f'' > 0$: grafen krummer oppover. $f'' < 0$: grafen krummer nedover.
• Tangenten i $x = a$: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Slik løser du oppgavene

1. Finn den ytterste operasjonen i uttrykket (sum, produkt, brøk eller sammensetning), og velg regel etter den.
2. Deriver del for del. Skriv mellomregningen, spesielt den indre deriverte i kjerneregelen.
3. Ekstremalpunkter: løs $f'(x) = 0$. Sjekk fortegnet til $f'$ på hver side, eller fortegnet til $f''$ i punktet.
4. På et lukket intervall $[a, b]$ må du også sjekke endepunktene.
5. Optimering med to ukjente: bruk bibetingelsen til å uttrykke alt med én variabel før du deriverer.

Eksempel

Finn toppunktet til $f(x) = x\,e^{-2x}$ for $x \ge 0$.

1. Produktregelen med kjerneregelen: $f'(x) = 1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2)e^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$.
2. $e^{-2x}$ er aldri null, så $f'(x) = 0$ gir $1 - 2x = 0$, altså $x = \frac12$.
3. Fortegn: $f' > 0$ for $x < \frac12$ og $f' < 0$ for $x > \frac12$. Det er et toppunkt.
4. Verdien: $f\left(\frac12\right) = \frac12e^{-1} \approx 0{,}184$.

Svar: toppunkt i $x = 0{,}5$, med funksjonsverdi omtrent $0{,}184$.

Vanlige feil

• Å glemme den indre deriverte: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, ikke $\cos 3x$.
• Å derivere et produkt faktor for faktor: $(fg)' \neq f'g'$.
• Fortegnsfeil i brøkregelen: telleren er $f'g - fg'$, i den rekkefølgen.
• Å tro at $f'(a) = 0$ alltid betyr topp eller bunn. $f(x) = x^3$ har $f'(0) = 0$, men et terrassepunkt.
• Å glemme endepunktene når du leter etter største og minste verdi på et intervall.

Begreper i denne delen

Øv på derivasjon i appen →

2. Integrasjon

Hva handler det om?

Integrasjon er det motsatte av derivasjon, og det er verktøyet for å summere opp noe som endrer seg. Kjenner du farten $v(t)$, gir integralet tilbakelagt strekning. Kjenner du en kraft $F(x)$ langs en vei, gir integralet arbeidet. Geometrisk er $\int_a^b f(x)\,dx$ arealet med fortegn mellom grafen og $x$-aksen: areal over aksen teller positivt, areal under teller negativt.

Begreper og formler

• $F$ er en antiderivert til $f$ hvis $F' = f$. Det ubestemte integralet er $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.
• Analysens fundamentalteorem: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Tabell: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$, $\int \frac1x\,dx = \ln|x| + C$, $\int e^{kx}\,dx = \frac1k e^{kx} + C$, $\int \sin kx\,dx = -\frac1k\cos kx + C$ og $\int \cos kx\,dx = \frac1k\sin kx + C$.
• Substitusjon: med $u = g(x)$ er $du = g'(x)\,dx$, og $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$.
• Delvis integrasjon: $\int u\,v'\,dx = uv - \int u'\,v\,dx$.
• Areal mellom kurver: $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ når $f \ge g$.
• Middelverdi: $\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Slik løser du oppgavene

1. Sjekk tabellen først. Skriv om uttrykket (gang ut, del opp brøker) hvis det hjelper.
2. Ser du en sammensatt funksjon ganget med (omtrent) den deriverte av det indre, bruk substitusjon.
3. Et produkt av typen polynom ganger $e^x$, $\sin x$ eller $\ln x$: bruk delvis integrasjon. La $u$ være faktoren som blir enklere når den deriveres (men for $\ln x$: la $u = \ln x$).
4. Bestemt integral: sett grensene inn i den antideriverte. Ved substitusjon må grensene også regnes om.
5. Kontroller ved å derivere svaret.

Eksempel

Beregn $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$.

1. Delvis integrasjon med $u = x$ og $v' = \sin x$. Da er $u' = 1$ og $v = -\cos x$.
2. $\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$.
3. Sett inn grensene: $\big[-x\cos x + \sin x\big]_0^{\pi} = \big(-\pi\cdot(-1) + 0\big) - (0 + 0) = \pi$.

Svaret er $\pi \approx 3{,}14$. Kontroll: $(-x\cos x + \sin x)' = -\cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x$.

Vanlige feil

• Å glemme $+ C$ i ubestemte integraler.
• Å bruke potensregelen på $\frac1x$. Den gir $\frac{x^0}{0}$, som er meningsløst. Riktig er $\ln|x|$.
• Å glemme faktoren $\frac1k$: $\int e^{3x}\,dx = \frac13 e^{3x} + C$.
• Å beholde de gamle grensene etter substitusjon.
• Å tolke integralet som totalt areal når funksjonen skifter fortegn. Da må intervallet deles opp.

Begreper i denne delen

Øv på integrasjon i appen →

3. Grenser, rekker og komplekse tall

Hva handler det om?

Denne enheten samler tre verktøy som går igjen i resten av studiet. Grenser beskriver hva en funksjon nærmer seg, for eksempel verdien et signal stabiliserer seg på. Rekker og Taylorpolynomer erstatter en vanskelig funksjon med et polynom som er lett å regne med – slik kalkulatorer og simuleringsprogrammer faktisk regner. Komplekse tall gjør svingninger og vekselstrøm enkle: en rotasjon blir en multiplikasjon.

Begreper og formler

• Standardgrense: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Når $x\to\infty$ bestemmer de høyeste potensene grensen til en brøk av polynomer.
• L'Hôpitals regel: ved formen $\frac00$ eller $\frac\infty\infty$ er $\lim\frac fg = \lim\frac{f'}{g'}$.
• Geometrisk rekke: $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$ når $|r| < 1$. Ellers divergerer den.
• Taylorpolynom om 0: $f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$
• Kjente rekker: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$, $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \dots$ og $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
• Komplekst tall: $z = a + bi$ med $i^2 = -1$. Modulus $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Argumentet $\theta$ er vinkelen fra den positive reelle aksen.
• Polarform og Eulers formel: $z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, og $z^n = r^ne^{in\theta}$. Ved multiplikasjon ganges lengdene, og vinklene legges sammen.
• Divisjon: gang med den konjugerte av nevneren, $\frac{z}{w} = \frac{z\bar w}{|w|^2}$. I elektroteknikk skrives ofte $j$ i stedet for $i$.

Slik løser du oppgavene

1. Grense: sett inn verdien først. Får du et tall, er du ferdig. Får du $\frac00$ eller $\frac\infty\infty$, bruk faktorisering, L'Hôpital eller Taylor.
2. Rekke: kjenn igjen typen, og sjekk konvergensbetingelsen før du bruker en sumformel.
3. Taylor: sett ofte bare inn i en kjent rekke, for eksempel $e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \dots$
4. Komplekse tall: bruk $a + bi$ ved addisjon og polarform ved multiplikasjon, divisjon og potenser. Tegn tallet for å få riktig kvadrant for argumentet.

Eksempel

a) Finn $\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}$. Innsetting gir $\frac00$. Taylor: $1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots$, så brøken er $\frac12 - \frac{x^2}{24} + \dots$ som går mot $\frac12$. L'Hôpital to ganger gir det samme.

b) Finn $z^6$ for $z = 1 + i\sqrt3$. Her er $|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$ og $\theta = \arctan\sqrt3 = 60^\circ$. Da er $z^6 = 2^6e^{i\cdot 360^\circ} = 64$.

Vanlige feil

• Å bruke L'Hôpital når uttrykket ikke er av typen $\frac00$ eller $\frac\infty\infty$.
• Å bruke $\frac{1}{1-r}$ når $|r| \ge 1$.
• Å glemme fakultetene i Taylorrekker.
• Å regne argumentet som $\arctan\frac ba$ uten å sjekke kvadranten: $-1 - i$ har argument $-135^\circ$, ikke $45^\circ$.
• Å gange ut komplekse tall uten å bruke $i^2 = -1$.

Begreper i denne delen

Øv på grenser, rekker og komplekse tall i appen →

4. Anvendelser av derivasjon

Hva handler det om?

Den deriverte forteller hvor fort noe endrer seg. Det kan du bruke til tre ting ingeniører gjør hele tiden: finne den største eller minste verdien (optimering), anslå en verdi raskt (lineær tilnærming) og løse ligninger med tall (Newtons metode).

Begreper og formler

• Kritisk punkt: der $f'(x) = 0$. Her kan funksjonen ha et toppunkt eller et bunnpunkt.
• Andrederiverttesten: $f''(x_0) > 0$ gir bunnpunkt (grafen smiler), $f''(x_0) < 0$ gir toppunkt (grafen er sur).
• På et lukket intervall $[a, b]$ må du sjekke de kritiske punktene og endepunktene.
• Lineær tilnærming nær $x = a$: bytt kurven ut med tangenten.

• Newtons metode for å løse $f(x) = 0$: start med en gjetning $x_0$ og forbedre den gang på gang.

• Relaterte hastigheter: når to størrelser henger sammen, henger også endringsratene sammen. Deriver sammenhengen med hensyn på tiden $t$ (kjerneregelen).

Slik løser du oppgavene

1. Skriv størrelsen du vil gjøre størst eller minst, som en funksjon av én variabel. Bruk betingelsen i oppgaven til å fjerne de andre.
2. Deriver og sett $f'(x) = 0$.
3. Sjekk at du har et toppunkt eller bunnpunkt (fortegnslinje eller $f''$), og sjekk endepunktene.
4. Svar på det oppgaven faktisk spør om, for eksempel arealet og ikke bare $x$.

Eksempel

Et rektangulært område langs en elv skal gjerdes inn. Langs elva trengs ikke gjerde, så du trenger gjerde på tre sider. Du har 100 m gjerde. Hvor stort kan området bli?

1. Kall sidene vinkelrett på elva $x$ (to stykker) og siden langs elva $y$. Da er $2x + y = 100$, så $y = 100 - 2x$.
2. Arealet er $A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$.
3. $A'(x) = 100 - 4x = 0$ gir $x = 25$ m. $A''(x) = -4 < 0$, så det er et toppunkt.
4. Da er $y = 50$ m og $A = 25\cdot 50 = 1250$ m².

Vanlige feil

• Å glemme endepunktene når variabelen er begrenset til et intervall.
• Å derivere før du har redusert til én variabel.
• Å svare med $x$-verdien når oppgaven spør etter arealet, eller omvendt.
• I Newtons metode: å snu fortegnet ($x_n + f/f'$), eller starte i et punkt der $f'(x_0) = 0$.

Begreper i denne delen

Øv på anvendelser av derivasjon i appen →