Maskindynamikk og svingninger: gratis øving, teori og oppgaver

1. Frie svingninger

Hva handler det om?

Frie svingninger er bevegelsen et system får når det forstyrres fra likevekt og deretter får svinge uten noen ny, ytre kraft. Et masse–fjær-system, en bjelke som dirrer etter et slag, eller en aksel med et svinghjul er typiske eksempler. Som ingeniør trenger du å vite egenfrekvensen til en konstruksjon, for hvis den treffes av en last med samme frekvens, kan svingningene bli farlig store (resonans, se neste enhet). Denne enheten gir verktøyene for å finne egenfrekvensen og beskrive selve svingebevegelsen.

Begreper og formler

Bevegelsesligningen for et udempet masse–fjær-system er

• Egenvinkelfrekvens: $\omega_n = \sqrt{k/m}$ (rad/s). Egenfrekvens i Hz: $f_n = \omega_n/(2\pi)$. Periodetid: $T = 1/f_n = 2\pi/\omega_n$.
• Løsningen er harmonisk: $x(t) = X\cos(\omega_nt - \varphi)$, der $X$ er amplituden og $\varphi$ fasevinkelen, bestemt av startbetingelsene $x(0)$ og $\dot x(0)$.
• Maksimal fart og akselerasjon: $\dot x_{maks} = X\omega_n$ og $\ddot x_{maks} = X\omega_n^2$.
• Fjærer i parallell: $k_{tot} = k_1 + k_2$. Fjærer i serie: $1/k_{tot} = 1/k_1 + 1/k_2$.
• Torsjonssvingning: $\omega_n = \sqrt{k_t/J}$, der $k_t$ er torsjonsstivheten (Nm/rad) og $J$ treghetsmomentet (kgm²) om aksen.
• Fra statisk nedbøyning $\delta$ (fjæra tøyes av tyngden): $k\delta = mg$, så $\omega_n = \sqrt{g/\delta}$.
• Perioden er uavhengig av amplituden i en lineær (harmonisk) svingning – det er selve poenget med «harmonisk».

Slik løser du oppgavene

1. Finn den ekvivalente stivheten $k$ (legg sammen parallelle fjærer, kombiner serie-fjærer) eller torsjonsstivheten $k_t$.
2. Sett opp $\omega_n = \sqrt{k/m}$ (eller $\sqrt{k_t/J}$, eller $\sqrt{g/\delta}$ fra statisk nedbøyning).
3. Regn om til $f_n$ eller $T$ etter hva oppgaven spør om.
4. Trenger du fart eller akselerasjon i svingningen, bruk $X\omega_n$ og $X\omega_n^2$ med den oppgitte amplituden.
5. Sjekk at enhetene stemmer: $k$ i N/m og $m$ i kg gir $\omega_n$ i rad/s.

Eksempel

En maskin på 80 kg står på fire fjærer i parallell, hver med stivhet 3000 N/m. Den svinger med amplitude 5 mm. Finn egenfrekvensen i Hz og maksimal akselerasjon.

1. Total stivhet: $k = 4\cdot 3000 = 12000$ N/m.
2. $\omega_n = \sqrt{12000/80} = \sqrt{150} \approx 12{,}25$ rad/s.
3. $f_n = \omega_n/(2\pi) \approx 1{,}95$ Hz.
4. $\ddot x_{maks} = X\omega_n^2 = 0{,}005\cdot 150 = 0{,}75$ m/s².

Svar: $f_n \approx 1{,}95$ Hz og $\ddot x_{maks} \approx 0{,}75$ m/s².

Vanlige feil

• Å blande $\omega_n$ (rad/s) og $f_n$ (Hz) – husk faktoren $2\pi$.
• Å tro at fjærer i serie gir samme formel som i parallell (det er omvendt av elektriske motstander).
• Å tro at amplituden påvirker egenfrekvensen. Den gjør den ikke i en lineær svingning.
• Å bruke massen i kg når stivheten er oppgitt i kN/m uten å regne om.
• Å glemme at $\delta$ (statisk nedbøyning) må måles i samme retning som fjærkraften virker.

Begreper i denne delen

Øv på frie svingninger i appen →

2. Demping

Hva handler det om?

De fleste virkelige svingesystemer har demping: friksjon, luftmotstand eller en støtdemper tar energi ut av systemet, slik at svingningene dør ut. Demping avgjør om en bilfjæring svinger etter en dump i veien eller returnerer rolig, og om en måleinstrumentviser stiller seg raskt inn eller svinger fram og tilbake lenge. Denne enheten handler om å beskrive og måle demping, og om å forstå hvordan den endrer svingebildet.

Begreper og formler

Bevegelsesligningen med viskøs demping er

• Dempingsforhold: $\zeta = c/c_c$, der kritisk dempingskoeffisient er $c_c = 2\sqrt{km} = 2m\omega_n$.
• Tre tilfeller: $\zeta < 1$ underdempet (svinger, avtagende amplitude), $\zeta = 1$ kritisk dempet (raskeste retur uten oversving), $\zeta > 1$ overdempet (returnerer sakte, uten svingning).
• Dempet egenfrekvens (bare for underdempet system): $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$, og dempet periode $T_d = 2\pi/\omega_d$.
• Amplituden i en fri, underdempet svingning avtar som $X(t) = X_0e^{-\zeta\omega_nt}$ – en eksponentiell omhylningskurve.
• Logaritmisk dekrement mellom to påfølgende topper: $\delta = \ln(x_1/x_2)$. Over $n$ perioder: $\delta = \dfrac{1}{n}\ln(x_0/x_n)$. Sammenheng med $\zeta$: $\delta = \dfrac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}$, og for små $\zeta$: $\zeta \approx \delta/(2\pi)$.
• Tid til amplituden er redusert til en gitt brøkdel: løs $e^{-\zeta\omega_nt} = X/X_0$ for $t$.

Slik løser du oppgavene

1. Finn $\omega_n$ fra $k$ og $m$ hvis den ikke er oppgitt direkte.
2. Regn $\zeta$ fra $c$, $c_c$, eller fra amplitudemålinger (logaritmisk dekrement).
3. Avgjør type demping ved å sammenligne $\zeta$ med 1.
4. Bruk $\omega_d$ og $T_d$ når du trenger den dempede svingefrekvensen, og eksponentialformelen når du trenger amplituden eller tiden.
5. Kontroller at $\zeta \geq 0$ og at underdempet-formlene bare brukes når $\zeta < 1$.

Eksempel

Et system har $m = 10$ kg, $k = 4000$ N/m og $c = 80$ Ns/m. Finn dempingsforholdet og den dempede egenfrekvensen.

1. $c_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{4000\cdot 10} = 2\sqrt{40000} \approx 400$ Ns/m.
2. $\zeta = c/c_c = 80/400 = 0{,}2$.
3. $\omega_n = \sqrt{k/m} = \sqrt{400} = 20$ rad/s.
4. $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 20\sqrt{1-0{,}04} \approx 19{,}6$ rad/s.

Svar: $\zeta = 0{,}2$ (underdempet) og $\omega_d \approx 19{,}6$ rad/s.

Vanlige feil

• Å blande $\omega_n$ og $\omega_d$ – de er like bare når $\zeta$ er svært liten.
• Å bruke den dempede formelen $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ når $\zeta \geq 1$ (uttrykket gir da ikke mening – systemet svinger ikke).
• Å tro at kritisk demping betyr at systemet ikke beveger seg i det hele tatt. Det returnerer bare raskest mulig uten å svinge forbi likevekt.
• Å glemme eksponentialleddet og bare bruke den udempede formelen for amplitude.
• Å forveksle logaritmisk dekrement (mellom to topper) med dempingsforholdet $\zeta$ direkte – sammenhengen går via formelen over.

Begreper i denne delen

Øv på demping i appen →

3. Tvungne svingninger og isolasjon

Hva handler det om?

Når et svingesystem påvirkes av en periodisk kraft eller bevegelse – fra en ubalansert motor, bølger, eller ujevnheter i veien – kalles det tvungne svingninger. Systemet svinger til slutt med samme frekvens som eksitasjonen, men hvor stort utslaget blir, avhenger sterkt av hvor nær eksitasjonsfrekvensen er egenfrekvensen. Nær resonans kan selv en liten kraft gi enorme utslag, og det er nettopp dette en ingeniør må unngå eller utnytte – enten ved å dempe, ved å flytte egenfrekvensen unna driftsfrekvensen, eller ved å isolere maskinen fra fundamentet.

Begreper og formler

• Frekvensforhold: $r = \omega/\omega_n$, der $\omega$ er eksitasjonens vinkelfrekvens.

Forsterkningsfaktoren (dynamisk utslag delt på statisk utbøyning $F_0/k$) er

• Ved resonans ($r = 1$) er $M \approx 1/(2\zeta)$ for lett dempede systemer – jo mindre demping, desto større utslag.
• Fasevinkel mellom kraft og utslag: $\tan\varphi = \dfrac{2\zeta r}{1-r^2}$. Under resonans er kraft og utslag nesten i fase ($\varphi \approx 0$), ved resonans er $\varphi = 90°$, og langt over resonans er de nesten i motfase ($\varphi \approx 180°$).
• Grenseoppførsel: for $r \ll 1$ nærmer utslaget seg den statiske utbøyningen $F_0/k$ (massen «følger» kraften kvasistatisk). For $r \gg 1$ går utslaget mot null (massen rekker ikke å følge).
• Transmissibilitet (kraft- eller bevegelsesoverføring til fundamentet), udempet: $TR = 1/|1-r^2|$. God isolasjon krever $r > \sqrt2$, altså at egenfrekvensen er lav sammenlignet med driftsfrekvensen (myke isolatorer).
• Ubalansekraft fra en roterende masse $m_e$ med eksentrisitet $e$: $F_0 = m_ee\omega^2$, som vokser med kvadratet av turtallet.

Slik løser du oppgavene

1. Finn $\omega_n$ for systemet (som i de foregående enhetene) og eksitasjonsfrekvensen $\omega$ (pass på o/min → rad/s: $\omega = 2\pi n/60$).
2. Regn frekvensforholdet $r = \omega/\omega_n$.
3. Sett inn i $M(r,\zeta)$ eller $TR = 1/|1-r^2|$, avhengig av hva oppgaven spør om.
4. For isolasjon: sjekk om $r > \sqrt2$. Er ikke det tilfellet, forsterkes kraften i stedet for å dempes.
5. Sjekk grensetilfellene: er $r$ nær 1 (fare for resonans), nær 0 (kvasistatisk) eller stor (isolert)?

Eksempel

En maskin på 150 kg med ubalanse roterer med 900 o/min og står på fjærer med total stivhet 200 kN/m. Demping er neglisjerbar. Er isolasjonen effektiv?

1. $\omega_n = \sqrt{k/m} = \sqrt{200000/150} \approx 36{,}5$ rad/s.
2. $\omega = 2\pi\cdot 900/60 \approx 94{,}2$ rad/s.
3. $r = \omega/\omega_n \approx 2{,}58$.
4. Siden $r > \sqrt2 \approx 1{,}41$, er isolasjonen effektiv: $TR = 1/|1-r^2| = 1/|1-6{,}66| \approx 0{,}177$, altså overføres bare 17,7 % av kraften.

Svar: Ja, isolasjonen virker godt ($TR \approx 0{,}18$).

Vanlige feil

• Å tro at forsterkningen alltid er størst når $r$ er stor. Den er størst nær $r = 1$ (resonans); for $r \gg 1$ avtar utslaget.
• Å glemme å regne om o/min til rad/s før $r$ regnes ut.
• Å tro at isolering virker for enhver $r < 1$. Isolasjon (redusert kraftoverføring) krever $r > \sqrt2$; for $r < \sqrt2$ forsterkes kraften.
• Å bruke den udempede transmissibilitetsformelen når demping er betydelig – da må $\zeta$ tas med.
• Å glemme kvadratet i ubalansekraften $F_0 = m_ee\omega^2$: dobler du turtallet, firedobles kraften.

Begreper i denne delen

Øv på tvungne svingninger og isolasjon i appen →