Matematikk R2: gratis øving, teori og oppgaver

1. Integrasjon

Hva handler det om?

Integrasjon er det motsatte av derivasjon. Det bestemte integralet gir arealet mellom grafen og $x$-aksen (med fortegn).

Begreper og formler

• $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \ne -1$), $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$, $\int e^{kx}\,dx = \dfrac{1}{k}e^{kx} + C$.
• $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$.
• Bestemt integral: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Delvis integrasjon: $\int u'v\,dx = uv - \int uv'\,dx$. Substitusjon: sett $u = g(x)$.
• Omdreiningsvolum om $x$-aksen: $V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx$.

Øv på integrasjon i appen →

2. Følger og rekker

Hva handler det om?

En følge er en liste med tall. En rekke er summen av leddene i en følge.

Begreper og formler

• Aritmetisk følge (fast differanse $d$): $a_n = a_1 + (n-1)d$, sum $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$.
• Geometrisk følge (fast kvotient $k$): $a_n = a_1 k^{n-1}$, sum $S_n = a_1\dfrac{k^n - 1}{k - 1}$.
• Uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k| < 1$, med sum $S = \dfrac{a_1}{1 - k}$.

Øv på følger og rekker i appen →

3. Differensiallikninger

Hva handler det om?

En differensiallikning er en likning der den ukjente er en funksjon, og likningen inneholder den deriverte. De beskriver vekst, avkjøling, fall med luftmotstand og mye mer.

Begreper og formler

• $y' = ky$ har løsningen $y = Ce^{kx}$. Med $y(0) = y_0$ blir $C = y_0$.
• Separable likninger $y' = f(x)g(y)$: skill variablene og integrer begge sider: $\int \dfrac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$.
• Førsteordens lineære $y' + ay = b$: løsning $y = \dfrac{b}{a} + Ce^{-ax}$.
• Logistisk vekst: $y' = ky(M - y)$, der $M$ er bæreevnen.

Øv på differensiallikninger i appen →

4. Trigonometriske funksjoner

Hva handler det om?

Sinus- og cosinusfunksjoner beskriver alt som svinger: lyd, tidevann, vekselstrøm og dagslengde.

Begreper og formler

• $f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$: amplitude $|A|$, periode $p = \dfrac{2\pi}{c}$, likevektslinje $y = d$.
• $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$.
• Vinkler i radianer: $180^\circ = \pi$.
• $\sin x = a$ har løsningene $x = \sin^{-1}a + n\cdot 2\pi$ og $x = \pi - \sin^{-1}a + n\cdot 2\pi$.

Øv på trigonometriske funksjoner i appen →

5. Vektorer i rommet

Hva handler det om?

I rommet har vektorer tre koordinater $[x, y, z]$. Med skalarprodukt og vektorprodukt finner du vinkler, arealer, volumer og likninger for plan.

Begreper og formler

• Lengde: $|[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Skalarprodukt: $\vec u \cdot \vec v = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
• Vektorproduktet $\vec u \times \vec v$ står vinkelrett på begge, og lengden er arealet av parallellogrammet de utspenner.
• Plan gjennom $P(x_0, y_0, z_0)$ med normalvektor $[a, b, c]$: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.
• Kule med sentrum $(x_0, y_0, z_0)$ og radius $r$: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2$.

Øv på vektorer i rommet i appen →

6. Integrasjonsmetoder

Hva handler det om?

Mange integraler kan ikke løses direkte fra tabellen. Da trenger du en metode: substitusjon (baklengs kjerneregel), delvis integrasjon (baklengs produktregel) eller delbrøkoppspalting.

Begreper og formler

• Substitusjon: ser du en funksjon og dens deriverte, sett $u = g(x)$ og $du = g'(x)\,dx$.

$\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$: med $u = x^2 + 1$ blir det $\int u^3\,du = \dfrac{u^4}{4} + C = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$.

• Delvis integrasjon: $\int u'v\,dx = uv - \int uv'\,dx$. Velg $v$ som blir enklere når den deriveres (ofte $x$ eller $\ln x$).

$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = (x - 1)e^x + C$.

• Delbrøk: $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$, så $\int \dfrac{1}{x(x + 1)}\,dx = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$.
• Bestemt integral med substitusjon: bytt grensene til $u$-verdier, eller sett tilbake $x$ før du setter inn.

Eksempel

$\int_1^e \ln x\,dx$: delvis med $u' = 1$, $v = \ln x$ gir $[x\ln x - x]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$.

Øv på integrasjonsmetoder i appen →

7. Areal og volum med integral

Hva handler det om?

Integralet regner ut areal under grafer, areal mellom grafer og volum av figurer som lages når en graf roteres om $x$-aksen.

Begreper og formler

• Areal mellom $f$ og $g$ der $f \ge g$ på $[a, b]$: $A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$. Grensene er ofte skjæringspunktene, så løs $f(x) = g(x)$ først.
• Ligger grafen under $x$-aksen, gir integralet et negativt tall. Arealet er da tallverdien, og du må dele opp ved nullpunktene.
• Omdreiningsvolum om $x$-aksen: $V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ (summen av tynne sirkelskiver med radius $f(x)$).
• Volum med kjent tverrsnitt $A(x)$: $V = \int_a^b A(x)\,dx$.

Eksempel: areal mellom grafer

$y = x$ og $y = x^2$ skjærer i $x = 0$ og $x = 1$. På $[0, 1]$ er $x \ge x^2$, så $A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \tfrac12 - \tfrac13 = \tfrac16$.

Eksempel: kjegle

Rotér $y = \dfrac{r}{h}x$ fra 0 til $h$: $V = \pi\int_0^h \dfrac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$, den kjente kjegleformelen.

Øv på areal og volum med integral i appen →

8. Induksjonsbevis

Hva handler det om?

Induksjon er en bevismetode for påstander om alle naturlige tall $n$. Tenk på dominobrikker: velter den første, og hver brikke velter den neste, så velter alle.

Fremgangsmåte

1. Induksjonsgrunnlag: vis at påstanden $P(1)$ er sann.
2. Induksjonstrinn: anta at $P(k)$ er sann (induksjonshypotesen), og vis at da er også $P(k + 1)$ sann.
3. Konklusjon: påstanden gjelder for alle $n \ge 1$.

Kjente summer

• $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$
• $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$
• $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
• $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n - 1} = 2^n - 1$

Eksempel

Påstand: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$. Grunnlag: $n = 1$ gir $1 = 1^2$. ✓ Trinn: anta $1 + 3 + \dots + (2k - 1) = k^2$. Legg til neste ledd $2(k + 1) - 1 = 2k + 1$: $k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2$. ✓ Påstanden holder da også for $k + 1$. $\blacksquare$

Øv på induksjonsbevis i appen →

9. Linjer og plan i rommet

Hva handler det om?

I rommet beskrives linjer med parameterframstilling og plan med en likning. Med normalvektorer og skalarprodukt finner du skjæringspunkter, vinkler og avstander.

Begreper og formler

• Linje gjennom $P(x_0, y_0, z_0)$ med retning $[a, b, c]$: $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$.
• Plan: $ax + by + cz + d = 0$, der $\vec n = [a, b, c]$ er en normalvektor (vinkelrett på planet).
• Avstand fra punktet $Q(x_1, y_1, z_1)$ til planet: $\dfrac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
• Skjæring linje–plan: sett parameterframstillingen inn i planlikningen og løs for $t$.
• Vinkel mellom to plan = vinkelen mellom normalvektorene (eller $180^\circ$ minus den).
• Volum av parallellepiped utspent av $\vec a, \vec b, \vec c$: $|(\vec a \times \vec b)\cdot \vec c|$.

Eksempel

Linjen $[1 + t, 2 - t, 3t]$ og planet $x + y + z = 6$: $(1 + t) + (2 - t) + 3t = 6$ gir $t = 1$, altså punktet $(2, 1, 3)$.

Øv på linjer og plan i rommet i appen →