Matematikk 1T: gratis øving, teori og oppgaver

1. Algebra og likninger

Hva handler det om?

Algebra er å regne med bokstaver. Du må kunne forenkle uttrykk, faktorisere og løse likninger av første og andre grad, og likningssett.

Begreper og formler

• Potensregler: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
• Standardform: $a \cdot 10^n$ med $1 \le a < 10$.
• Kvadratsetningene: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
• Andregradslikning $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Diskriminanten $b^2 - 4ac$: positiv gir to løsninger, null gir én, negativ gir ingen.
• Likningssett med to ukjente løses med innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden.

Eksempel

Løs $x^2 - 5x + 6 = 0$. Her er $b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1$, så $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$, altså $x = 2$ eller $x = 3$.

Øv på algebra og likninger i appen →

2. Funksjoner

Hva handler det om?

En funksjon gir én $y$-verdi for hver $x$-verdi. I 1T jobber du med lineære funksjoner, andregradsfunksjoner og polynomer, og leser av nullpunkter, topp- og bunnpunkter.

Begreper og formler

• Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$. Stigningstallet $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, konstantleddet $b$ er der grafen skjærer $y$-aksen.
• Andregradsfunksjon: $f(x) = ax^2 + bx + c$. Grafen er en parabel, som smiler når $a > 0$ og er sur når $a < 0$.
• Symmetrilinjen (og $x$-verdien til topp- eller bunnpunktet): $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Nullpunkter er der $f(x) = 0$, altså der grafen skjærer $x$-aksen.

Eksempel

$f(x) = x^2 - 4x + 1$ har bunnpunkt i $x = -(-4)/2 = 2$, og $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$. Bunnpunktet er $(2, -3)$.

Øv på funksjoner i appen →

3. Derivasjon og vekstfart

Hva handler det om?

Den deriverte forteller hvor raskt en funksjon endrer seg i et bestemt punkt: stigningstallet til tangenten. Gjennomsnittlig vekstfart er stigningen mellom to punkter.

Begreper og formler

• Gjennomsnittlig vekstfart fra $x_1$ til $x_2$: $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
• Momentan vekstfart i $x$: den deriverte $f'(x)$.
• Derivasjonsregler for polynomer: $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(k)' = 0$, $(k \cdot f)' = k f'$, $(f + g)' = f' + g'$.
• Der $f'(x) = 0$ kan funksjonen ha topp- eller bunnpunkt. Fortegnet til $f'$ forteller om funksjonen vokser ($f' > 0$) eller avtar ($f' < 0$).

Eksempel

$f(x) = x^3 - 3x$ gir $f'(x) = 3x^2 - 3$. $f'(x) = 0$ når $x = \pm 1$.

Øv på derivasjon og vekstfart i appen →

4. Trigonometri

Hva handler det om?

Trigonometri knytter vinkler og sider i trekanter sammen. I rettvinklede trekanter bruker du sinus, cosinus og tangens. I andre trekanter bruker du sinussetningen, cosinussetningen og arealsetningen.

Begreper og formler

• Rettvinklet trekant: $\sin v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$, $\cos v = \dfrac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$, $\tan v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$.
• Pytagoras: $a^2 + b^2 = c^2$.
• Arealsetningen: $A = \tfrac12 ab \sin C$.
• Sinussetningen: $\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c}$.
• Cosinussetningen: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.

Øv på trigonometri i appen →

5. Ulikheter og fortegnslinjer

Hva handler det om?

En ulikhet spør for hvilke $x$ noe er større eller mindre enn noe annet. Svaret er et helt område av tall, ikke ett tall. Det viktigste verktøyet er fortegnslinjen: du finner der uttrykket er null eller ikke definert, og sjekker fortegnet mellom disse punktene.

Begreper og formler

• Lineær ulikhet løses som en likning, men snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med et negativt tall: $-2x > 6 \Rightarrow x < -3$.
• Andregradsulikhet: flytt alt over på én side, faktoriser $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ og lag fortegnslinje for hver faktor.
• Et produkt er positivt når det er et partall antall negative faktorer.
• Brøkulikhet $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$: nullpunktene til $Q$ er aldri med i løsningen (der er brøken ikke definert). Gang aldri med et uttrykk du ikke vet fortegnet til.
• Skrivemåter: $x < 2$ kan også skrives $\langle \leftarrow, 2 \rangle$, og $1 \le x \le 4$ som $[1, 4]$.

Eksempel 1

Løs $x^2 - 5x + 4 < 0$. Nullpunktene er $x = 1$ og $x = 4$, så $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$. Fortegnslinje: begge faktorene er negative for $x < 1$ (produkt positivt), én er negativ mellom 1 og 4 (produkt negativt), ingen er negative for $x > 4$. Løsning: $1 < x < 4$.

Eksempel 2

Løs $\dfrac{x + 3}{x - 1} \ge 0$. Telleren er null i $x = -3$ (tas med), nevneren er null i $x = 1$ (tas aldri med). Løsning: $x \le -3$ eller $x > 1$.

Øv på ulikheter og fortegnslinjer i appen →

6. Faktorisering og polynomdivisjon

Hva handler det om?

Å faktorisere er å skrive et uttrykk som et produkt. Det gjør det lett å finne nullpunkter, forkorte brøker og lage fortegnslinjer. Polynomdivisjon er «lang divisjon» med polynomer.

Begreper og formler

• Felles faktor: $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$.
• Kvadratsetningene baklengs: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$, $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
• Med nullpunktene $x_1, x_2$: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Rasjonale uttrykk forkortes ved å faktorisere teller og nevner og stryke faktorer (aldri ledd): $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2$ for $x \ne 2$.
• Restteoremet: resten når $P(x)$ deles på $(x - a)$ er $P(a)$. Er $P(a) = 0$, går divisjonen opp, og $(x - a)$ er en faktor.
• Polynomdivisjon: del det første leddet, gang tilbake, trekk fra, og gjenta.

Eksempel

$P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Prøv $x = 1$: $P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$, så $(x - 1)$ er en faktor. Polynomdivisjon gir $P(x) : (x - 1) = x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. Altså $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1)$, med nullpunktene $1$, $2$ og $-1$.

Øv på faktorisering og polynomdivisjon i appen →

7. Potenser, røtter og logaritmer

Hva handler det om?

Potenser er gjentatt multiplikasjon, røtter er potenser med brøk som eksponent, og logaritmen svarer på spørsmålet «hvilken eksponent trenger jeg?». Med logaritmer kan du løse likninger der $x$ står i eksponenten.

Begreper og formler

• $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ og $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$. Eksempel: $8^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
• Rotregler: $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, så $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
• Tierlogaritmen: $\lg x = y \iff 10^y = x$. Derfor er $\lg 1000 = 3$ og $\lg 0{,}01 = -2$.
• Logaritmereglene: $\lg(ab) = \lg a + \lg b$, $\lg\dfrac{a}{b} = \lg a - \lg b$, $\lg a^n = n\lg a$.
• Likningen $a \cdot b^x = c$ løses slik: $b^x = \dfrac{c}{a}$, så $x = \dfrac{\lg(c/a)}{\lg b}$.

Eksempel

Løs $500 \cdot 1{,}04^x = 800$. Del på 500: $1{,}04^x = 1{,}6$. Ta lg på begge sider: $x \lg 1{,}04 = \lg 1{,}6$, så $x = \dfrac{\lg 1{,}6}{\lg 1{,}04} \approx 12{,}0$.

Øv på potenser, røtter og logaritmer i appen →

8. Eksponentielle modeller

Hva handler det om?

Når noe øker eller minker med samme prosent hver periode, er veksten eksponentiell: befolkning, renter, verdifall på bil, medisin i blodet. Modellen er $f(x) = a \cdot b^x$, der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.

Begreper og formler

• Vekstfaktor ved økning på $p$ %: $b = 1 + \dfrac{p}{100}$. Ved nedgang: $b = 1 - \dfrac{p}{100}$.
• Etter $x$ perioder: $f(x) = a \cdot b^x$. Eksempel: 20 000 kr med 5 % rente i 3 år gir $20\,000 \cdot 1{,}05^3 = 23\,152{,}50$ kr.
• Vekstfaktor fra to målinger: $b = \left(\dfrac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$.
• Når nås et nivå? Løs $a \cdot b^x = c$ med logaritmer: $x = \dfrac{\lg(c/a)}{\lg b}$.
• Lineær modell $ax + b$: samme tall legges til hver periode. Eksponentiell: samme faktor ganges på.
• Prosent og prosentpoeng: går renten fra 2 % til 3 %, øker den med 1 prosentpoeng, men med 50 %.

Eksempel

En bil koster 400 000 kr og taper 15 % av verdien hvert år. Verdien etter $x$ år er $400\,000 \cdot 0{,}85^x$. Etter 4 år: $400\,000 \cdot 0{,}85^4 \approx 208\,800$ kr.

Øv på eksponentielle modeller i appen →