Statistikk: gratis øving, teori og oppgaver

1. Beskrivende statistikk

Hva handler det om?

Beskrivende statistikk oppsummerer data med noen få tall: hvor ligger midten, og hvor mye sprer dataene seg?

Begreper og formler

• Gjennomsnitt: $\bar x = \dfrac{\sum x_i}{n}$.
• Median: det midterste tallet når dataene er sortert. Påvirkes lite av ekstreme verdier.
• Typetall: den verdien som forekommer oftest.
• Variasjonsbredde: største minus minste verdi.
• Utvalgsstandardavvik: $s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar x)^2}{n - 1}}$.
• Ved skjeve fordelinger (for eksempel inntekt) er medianen ofte mer representativ enn gjennomsnittet.

Eksempel

Lønninger 400, 450, 500, 520 og 2000 (tusen kr): gjennomsnitt 774, median 500. Én høy lønn drar gjennomsnittet opp.

Øv på beskrivende statistikk i appen →

2. Sannsynlighetsfordelinger

🔗 Felles pensum med Matematikk S2. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

En sannsynlighetsfordeling forteller hvor sannsynlig hvert mulig utfall er. Med forventning og standardavvik beskriver du «midten» og «spredningen». De to viktigste fordelingene er binomisk fordeling og normalfordelingen.

Begreper og formler

• Forventningsverdi: $E(X) = \sum x \cdot P(X = x)$. For en terning: $E(X) = 3{,}5$.
• Varians $\text{Var}(X) = \sum (x - \mu)^2 P(X = x)$, standardavvik $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.
• Binomisk fordeling ($n$ uavhengige forsøk, sannsynlighet $p$ for suksess): $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$, $E(X) = np$, $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$.
• Normalfordelingen $N(\mu, \sigma)$: klokkeformet. Omtrent 68 % ligger innenfor $\mu \pm \sigma$, 95 % innenfor $\mu \pm 2\sigma$ og 99,7 % innenfor $\mu \pm 3\sigma$.
• Standardisering: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$, og $P(X < a) = \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$. Viktige verdier: $\Phi(1{,}645) = 0{,}95$, $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$.
• Sentralgrenseteoremet: summer og gjennomsnitt av mange uavhengige variabler blir tilnærmet normalfordelt.

Eksempel

Høyden til 18-åringer er $N(175, 7)$ cm. Andelen under 182 cm er $\Phi\!\left(\dfrac{182 - 175}{7}\right) = \Phi(1) \approx 0{,}841$.

Øv på sannsynlighetsfordelinger i appen →

3. Konfidensintervall

Hva handler det om?

Et utvalg gir et estimat, men hvor sikkert er det? Et konfidensintervall gir et område som med en gitt sikkerhet (ofte 95 %) inneholder den sanne verdien.

Begreper og formler

• 95 % konfidensintervall for gjennomsnitt (kjent $\sigma$ eller stort utvalg): $\bar x \pm 1{,}96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$.
• For en andel $\hat p$: $\hat p \pm 1{,}96\sqrt{\dfrac{\hat p(1 - \hat p)}{n}}$.
• Feilmarginen $1{,}96\,\sigma/\sqrt n$ halveres når utvalget blir fire ganger så stort.
• 95 % betyr: gjentar vi undersøkelsen mange ganger, treffer omtrent 95 % av intervallene den sanne verdien.

Eksempel

En meningsmåling med 1000 personer gir 30 % oppslutning. Feilmargin: $1{,}96\sqrt{0{,}3 \cdot 0{,}7/1000} = 0{,}028$, altså 30 % ± 2,8 prosentpoeng.

Øv på konfidensintervall i appen →

4. Hypotesetesting

🔗 Felles pensum med Matematikk S2. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

En hypotesetest avgjør om data gir grunn nok til å forkaste en påstand. Er en mynt skjev? Virker en ny medisin? Har et nytt opplegg hevet snittkarakteren?

Begreper og formler

• Nullhypotesen $H_0$: «ingen endring», for eksempel $p = 0{,}5$.
• Alternativ hypotese $H_1$: det vi vil vise, for eksempel $p > 0{,}5$ (ensidig) eller $p \ne 0{,}5$ (tosidig).
• Signifikansnivå $\alpha$: vanligvis 5 %. Det er sannsynligheten for å forkaste $H_0$ selv om den er sann (type I-feil).
• P-verdi: sannsynligheten for et resultat minst like ekstremt som det vi observerte, **gitt at $H_0$ er sann**.
• Beslutning: er p-verdien mindre enn $\alpha$, forkaster vi $H_0$. Ellers har vi ikke nok bevis (det betyr ikke at $H_0$ er bevist).
• Testobservator for gjennomsnitt: $Z = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$. For en andel: $Z = \dfrac{X - np_0}{\sqrt{np_0(1 - p_0)}}$.
• Ensidig test på 5 %-nivå: forkast når $Z > 1{,}645$. Tosidig: når $|Z| > 1{,}96$.

Eksempel

En mynt gir 60 kron på 100 kast. $H_0: p = 0{,}5$, $H_1: p > 0{,}5$. $Z = \dfrac{60 - 50}{\sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}} = \dfrac{10}{5} = 2$. P-verdien er $1 - \Phi(2) \approx 0{,}023 < 0{,}05$, så vi forkaster $H_0$: mynten ser ut til å være skjev.

Øv på hypotesetesting i appen →