Alle fag › Flervariabel analyse

Flervariabel analyse: gratis øving, teori og oppgaver

En funksjon av flere variabler, som , beskriver noe som avhenger av mer enn én størrelse – temperatur i et rom, kostnad som funksjon av to design-parametere, eller trykk som funksjon av posisjon. De partielle deriverte forteller hvor raskt endrer seg når du beveger deg langs én akse om gangen, og gradienten samler dem til en vektor som peker i retningen der vokser raskest. Dette er grunnlaget for optimering med flere variabler: å finne det billigste designet, den sterkeste konstruksjonen eller den varmeste flekken i en plate.

3 deler56 oppgaver9 begreper forklartPrøveeksamenGratis

Start å øve gratis →

1. Partielle deriverte

Hva handler det om?

En funksjon av flere variabler, som $f(x, y)$ , beskriver noe som avhenger av mer enn én størrelse – temperatur i et rom, kostnad som funksjon av to design-parametere, eller trykk som funksjon av posisjon. De partielle deriverte forteller hvor raskt $f$ endrer seg når du beveger deg langs én akse om gangen, og gradienten $\nabla f$ samler dem til en vektor som peker i retningen der $f$ vokser raskest. Dette er grunnlaget for optimering med flere variabler: å finne det billigste designet, den sterkeste konstruksjonen eller den varmeste flekken i en plate.

Begreper og formler

Partiellderivert $f_x = \partial f/\partial x$ : deriver med hensyn på $x$ , behandle $y$ som konstant (og omvendt for $f_y$ ).
Gradient: $\nabla f = (f_x, f_y)$ . Den peker i retningen der $f$ øker raskest, og står vinkelrett på nivåkurvene.
Retningsderivert i retning av enhetsvektor $\vec u$ : $D_{\vec u}f = \nabla f\cdot\vec u$ .
Kjerneregelen med én parameter: $\dfrac{dz}{dt} = f_x\dfrac{dx}{dt} + f_y\dfrac{dy}{dt}$ . Med to parametere $u, v$ : $\dfrac{\partial z}{\partial u} = f_x\dfrac{\partial x}{\partial u} + f_y\dfrac{\partial y}{\partial u}$ .
Kritisk punkt: der $\nabla f = \vec 0$ (eller der de partiellderiverte ikke finnes).
Annenderiverttest: $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ . $D>0, f_{xx}>0$ : lokalt minimum. $D>0, f_{xx}<0$ : lokalt maksimum. $D<0$ : sadelpunkt.
Lagranges metode: ekstremum av $f$ under bibetingelsen $g=0$ gir $\nabla f = \lambda\nabla g$ sammen med $g=0$ .
Tangentplan i $(a,b)$ : $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$ . Samme uttrykk gir lineær tilnærming.

Slik løser du oppgavene

Deriver partielt: hold alle andre variabler konstante.
For kritiske punkter: sett $f_x=0$ og $f_y=0$ , og løs likningssystemet.
Klassifiser med annenderiverttesten, eller bruk Lagranges metode hvis det er en bibetingelse.
For retningsderivert: normaliser retningsvektoren først (del på lengden) hvis den ikke allerede har lengde 1.
For lineær tilnærming eller tangentplan: regn ut $f$ og gradienten i punktet, og sett inn i formelen.

Eksempel

Finn og klassifiser de kritiske punktene til $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$ .

$f_x = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x=1$ . $f_y = 2y-4=0 \Rightarrow y=2$ . Kritisk punkt: $(1,2)$ .
$f_{xx}=2$ , $f_{yy}=2$ , $f_{xy}=0$ , så $D = 2\cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$ og $f_{xx}>0$ .
Punktet $(1,2)$ er et lokalt minimum, med $f(1,2) = 1+4-2-8+5 = 0$ .

Vanlige feil

Å glemme å normalisere retningsvektoren før man bruker $D_{\vec u}f = \nabla f\cdot\vec u$ .
Å tro at $f_{xy}$ og $f_{yx}$ kan bli forskjellige av seg selv – for glatte funksjoner er de like (Clairauts teorem), men skriv utregningen riktig underveis.
Å tro at $\nabla f = \vec 0$ alltid betyr et ekstremum. Det kan også være et sadelpunkt.
Å sette Lagrange-likningen feil vei: det er $\nabla f = \lambda\nabla g$ , ikke $\nabla g = \lambda\nabla f$ .

Gradienten peker der

f

vokser raskest. Et kritisk punkt er der

\nabla f = \vec 0

– annenderiverttesten avgjør om det er et minimum, maksimum eller sadelpunkt.

Begreper i denne delen

Partiellderivert og gradientEn partiellderivert deriverer med hensyn på én variabel om gangen, mens de andre holdes konstante. Gradienten …AndrederiverttestenI et kritisk punkt der avgjør andrederiverttesten om det er et lokalt minimum, maksimum eller et sadelpunkt, v…Lagranges metodeLagranges metode finner ekstremalpunkter for når er bundet til en kurve . I ekstremalpunktet er nivåkurven til…

Øv på partielle deriverte i appen →

2. Multiple integraler

Hva handler det om?

Et enkeltintegral summerer verdier langs en linje. Et dobbeltintegral $\iint_D f\,dA$ summerer verdier over et område i planet, og et trippelintegral $\iiint_B f\,dV$ summerer over et volum. De brukes til areal, volum, masse, tyngdepunkt og gjennomsnittsverdier – alt som er «summen av mange små bidrag» over en flate eller et volum. En ingeniør bruker dette til for eksempel å finne massen til en plate med varierende tetthet, eller volumet av en tank med skrå vegger.

Begreper og formler

Dobbeltintegral over et rektangel: $\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dA = \int_a^b\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ (Fubinis teorem: rekkefølgen kan byttes for kontinuerlige funksjoner).
Areal: $\iint_D 1\,dA$ . Volum under en flate: $\iint_D f\,dA$ når $f\ge 0$ .
Masse med tetthet $\rho(x,y)$ : $m = \iint_D \rho\,dA$ .
Polarkoordinater: $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , $dA = r\,dr\,d\theta$ . Faktoren $r$ er Jacobi-determinanten.
Sylinderkoordinater: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$ . Kulekoordinater: $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ , der $\varphi$ måles fra $z$ -aksen.
Trippelintegral over en boks: $\iiint_{[a,b]\times[c,d]\times[e,f]} 1\,dV = (b-a)(d-c)(f-e)$ .

Slik løser du oppgavene

Beskriv området, og avgjør om kartesiske, polare, sylindriske eller kuleformede koordinater er enklest.
Sett opp grensene innenfra og ut: den innerste variabelen kan ha grenser som avhenger av de ytre.
Bytt til polar/sylinder/kule ved å erstatte $x,y,(z)$ og legge til riktig Jacobi-faktor ( $r$ eller $\rho^2\sin\varphi$ ).
Regn integralet innenfra og ut, ett steg om gangen.
Sjekk resultatet: er det positivt der det skal være (areal, volum, masse)? Har det riktig størrelsesorden?

Eksempel

Finn arealet av området mellom $y=x^2$ og $y=4$ .

Kurvene skjærer der $x^2=4$ , altså $x=\pm 2$ .
For hver $x$ mellom $-2$ og $2$ går $y$ fra $x^2$ til $4$ : $A = \int_{-2}^{2}\int_{x^2}^{4} dy\,dx = \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$ .
$\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx = \left[4x - \tfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 = \left(8-\tfrac83\right) - \left(-8+\tfrac83\right) = 16 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ .

Vanlige feil

Å glemme faktoren $r$ i polare/sylindriske koordinater, eller $\rho^2\sin\varphi$ i kulekoordinater.
Å sette faste grenser når området egentlig ikke er et rektangel eller en boks – den indre grensen avhenger ofte av den ytre variabelen.
Å bytte integrasjonsrekkefølge uten å bytte grensene tilsvarende.
Å blande $\varphi$ (målt fra $z$ -aksen) med den polare vinkelen $\theta$ i kulekoordinater.

Velg koordinatsystem etter formen på området: rektangel/boks → kartesisk, sirkel/skive → polar, sylinder → sylinderkoordinater, kule → kulekoordinater.

Begreper i denne delen

DobbeltintegralEt dobbeltintegral summerer en funksjon over et areal, og regnes vanligvis ut som to vanlige integraler etter …PolarkoordinaterI polarkoordinater beskrives et punkt med avstand fra origo og vinkel . Arealelementet får en ekstra faktor , …KulekoordinaterKulekoordinater beskriver et punkt med avstand fra origo, en polvinkel fra z-aksen og en asimutvinkel i xy-pla…

Øv på multiple integraler i appen →

3. Vektoranalyse

Hva handler det om?

Vektorfelt $\vec F(x,y,z)$ beskriver noe som har både retning og størrelse i hvert punkt – en hastighetsstrøm, et kraftfelt, en varmefluks. Vektoranalyse gir verktøy for å måle hvor mye et felt «sprer seg ut» (divergens) og hvor mye det «roterer» (curl), og de store teoremene (Green, Stokes, divergensteoremet) knytter disse lokale målene til globale størrelser som fluks gjennom en flate eller sirkulasjon rundt en kurve. Dette er selve språket for strømningslære, elektromagnetisme og varmeoverføring.

Begreper og formler

Divergens: $\nabla\cdot\vec F = \partial_xF_1+\partial_yF_2+\partial_zF_3$ . Måler kilder/sluk – positiv divergens betyr at feltet «strømmer ut» av punktet.
Curl: $\nabla\times\vec F$ . Måler rotasjon i feltet. $\nabla\times(\nabla f)=\vec 0$ alltid (et gradientfelt er virvelfritt), og $\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0$ alltid.
Konservativt felt: $\vec F=\nabla f$ for en potensialfunksjon $f$ , på et enkelt sammenhengende område ekvivalent med $\nabla\times\vec F=\vec 0$ . Da er $\int_C\vec F\cdot d\vec r = f(\text{slutt})-f(\text{start})$ , uavhengig av vei.
Greens teorem (i planet): $\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D(Q_x-P_y)\,dA$ .
Divergensteoremet (Gauss): $\oiint_S\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V\nabla\cdot\vec F\,dV$ .
Stokes' teorem: $\oint_C\vec F\cdot d\vec r = \iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S$ , der $C$ avgrenser flaten $S$ .

Slik løser du oppgavene

Sjekk om feltet er konservativt: er $\nabla\times\vec F=\vec 0$ ? Finn i så fall potensialfunksjonen og bruk kun endepunktene.
For lukkede kurver i planet: bruk Greens teorem i stedet for å regne linjeintegralet direkte.
For fluks gjennom en lukket flate: bruk divergensteoremet, regn $\nabla\cdot\vec F$ og integrer over volumet.
For sirkulasjon rundt en kurve som avgrenser en flate: bruk Stokes' teorem.
Sjekk fortegn og enheter til slutt – fluks og sirkulasjon kan være negative.

Eksempel

Bruk divergensteoremet til å finne fluksen av $\vec F=(x^2,\,0,\,0)$ ut av kuben $[0,2]^3$ .

$\nabla\cdot\vec F = 2x$ .
Fluksen er $\iiint_V 2x\,dV = \int_0^2\!\int_0^2\!\int_0^2 2x\,dx\,dy\,dz$ .
$\int_0^2 2x\,dx = 4$ , og resten av volumet gir en faktor $2\cdot 2=4$ : fluksen er $4\cdot 4=16$ .

Vanlige feil

Å bruke Greens/Stokes/divergensteoremet på en flate eller kurve som ikke er lukket.
Å blande divergens (skalar) og curl (vektor) – divergens gir kilder/sluk, curl gir rotasjon.
Å glemme at et konservativt felt gjør linjeintegralet veiuavhengig – da trenger du ikke parametrisere kurven i det hele tatt.
Fortegnsfeil i Greens teorem: det er $Q_x-P_y$ , ikke $P_y-Q_x$ .

Divergens måler kilder, curl måler rotasjon. De tre store teoremene bytter et vanskelig linje- eller flateintegral mot et enklere flate- eller volumintegral.

Begreper i denne delen

Divergens og curlDivergensen til et vektorfelt måler hvor mye feltet «strømmer ut» fra et punkt, mens curl måler hvor mye det v…Greens teoremGreens teorem knytter et linjeintegral rundt en lukket kurve til et dobbeltintegral over området innenfor. Det…Divergensteoremet og StokesDivergensteoremet (Gauss) knytter fluksen ut av en lukket flate til volumintegralet av divergensen innenfor. S…

Øv på vektoranalyse i appen →

Eksempeloppgaver med løsning

Her er noen av oppgavene i flervariabel analyse. I appen får regneoppgavene nye tall hver gang, så du kan øve til det sitter – og ta en prøveeksamen med karakter før eksamen.

Partielle deriverte:

f(x, y) = x^2y

. Hva er

\partial f/\partial x

Svar: $2xy$

Behandle $y$ som en konstant.

Multiple integraler:

\displaystyle\iint_{[0,1]\times[0,1]} xy\,dA =

Svar: 0,25

$\int_0^1 x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac14 = 0{,}25$ .

Vektoranalyse:

\nabla\cdot(x, y, z) =

Svar: 3

$1 + 1 + 1 = 3$ .

Partielle deriverte: Gradienten

\nabla f

peker i retningen der …

Svar: $f$ øker raskest

$\nabla f$ står vinkelrett på nivåkurvene.

Øv på alle oppgavene →

Passer for disse emnene

Innholdet dekker pensum som går igjen i ingeniørutdanningene, blant annet:

DAVE3700 (OsloMet)
TMA4420 (NTNU)
MATH112 (NMBU)