Alle fag › Laplace, Fourier og PDE

Laplace, Fourier og PDE (PDE): gratis øving, teori og oppgaver

Laplacetransformasjonen gjør om en funksjon av tid, , til en funksjon av en kompleks variabel : . Det viktige er at den gjør differensiallikninger om til algebraiske likninger – i stedet for å derivere og integrere i tidsdomenet, ganger og deler du i -domenet. Dette er selve verktøyet ingeniører bruker til å analysere kretser, mekaniske systemer og reguleringssystemer uten å løse differensiallikningen direkte.

3 deler65 oppgaver9 begreper forklartPrøveeksamenGratis

Start å øve gratis →

1. Laplacetransformasjonen

Hva handler det om?

Laplacetransformasjonen gjør om en funksjon av tid, $f(t)$ , til en funksjon av en kompleks variabel $s$ : $F(s) = \mathcal L\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$ . Det viktige er at den gjør differensiallikninger om til algebraiske likninger – i stedet for å derivere og integrere i tidsdomenet, ganger og deler du i $s$ -domenet. Dette er selve verktøyet ingeniører bruker til å analysere kretser, mekaniske systemer og reguleringssystemer uten å løse differensiallikningen direkte.

Begreper og formler

Linearitet: $\mathcal L\{af+bg\} = aF(s)+bG(s)$ .
Deriverte: $\mathcal L\{f'\} = sF(s)-f(0)$ , $\mathcal L\{f''\} = s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ .
Standardtransformer: $\mathcal L\{1\}=1/s$ , $\mathcal L\{t^n\}=n!/s^{n+1}$ , $\mathcal L\{e^{at}\}=1/(s-a)$ , $\mathcal L\{\sin\omega t\}=\omega/(s^2+\omega^2)$ , $\mathcal L\{\cos\omega t\}=s/(s^2+\omega^2)$ .
s-skift: $\mathcal L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$ .
t-skift (andre forskyvningsregel): $\mathcal L\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$ , der $u$ er enhetssprangfunksjonen.
Konvolusjonsteoremet: $\mathcal L\{f*g\}=F(s)G(s)$ , der $(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ .
Start- og sluttverditeoremet: $f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$ , og $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)$ (hvis grensen finnes).
Dirac-puls: $\mathcal L\{\delta(t)\}=1$ .

Slik løser du oppgavene

Transformer hele differensiallikningen ledd for ledd, og bruk deriverte-reglene med initialbetingelsene.
Løs den algebraiske likningen for $Y(s)$ .
Del opp $Y(s)$ med delbrøkoppspalting til enkle brøker du kjenner igjen fra tabellen.
Transformer tilbake ledd for ledd til $y(t)$ .
Sjekk svaret: stemmer $y(0)$ med initialbetingelsen?

Eksempel

Løs $y'' + 4y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 0$ .

Transformer: $s^2Y - 2s - 0 + 4Y = 0$ .
Løs for $Y$ : $Y(s^2+4) = 2s$ , så $Y(s) = \dfrac{2s}{s^2+4}$ .
Dette kjenner vi igjen som transformen til $\cos 2t$ : $y(t) = 2\cos 2t$ .
Sjekk: $y(0) = 2\cos 0 = 2$ . Stemmer.

Vanlige feil

Å glemme initialbetingelsene når $\mathcal L\{f'\}$ eller $\mathcal L\{f''\}$ brukes.
Å blande s-skift ( $e^{at}f(t)$ ) med t-skift ( $f(t-a)u(t-a)$ ) – de gir helt ulike resultater.
Feil fortegn eller faktor i delbrøkoppspaltingen.
Å tro sluttverditeoremet gjelder selv om systemet ikke er stabilt (poler med positiv realdel, eller flere poler i origo).

Laplace gjør en differensiallikning om til algebra i

s

. Løs for

Y(s)

, del opp med delbrøker, og transformer tilbake ledd for ledd.

Begreper i denne delen

LaplacetransformasjonenLaplacetransformasjonen omformer en funksjon av tiden til en funksjon av frekvensvariabelen , og gjøres ved et…Laplace av deriverteLaplacetransformen gjør en derivert om til en algebraisk faktor pluss et startbetingelses-ledd. Det er derfor …Forskyvningsregelen og delbrøkForskyvningsregelen (s-skift) forteller hva som skjer med transformen når ganges med . Delbrøkoppspalting bruk…

Øv på laplacetransformasjonen i appen →

2. Fourierrekker

Hva handler det om?

Enhver rimelig periodisk funksjon kan skrives som en sum av sinus- og cosinusledd med ulike frekvenser – en Fourierrekke. Dette er kraftig fordi lineære systemer (kretser, mekaniske svingesystemer) responderer enkelt på hver enkelt sinusbølge for seg, så man kan analysere responsen på et komplisert periodisk signal ledd for ledd. Fourierrekker er grunnlaget for signalbehandling, akustikk, og løsning av partielle differensiallikninger med periodiske eller avgrensede randbetingelser.

Begreper og formler

For en $2L$ -periodisk funksjon: $f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\dfrac{n\pi x}{L} + b_n\sin\dfrac{n\pi x}{L}\right)$ .
Koeffisienter: $a_n = \dfrac1L\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx$ , $b_n = \dfrac1L\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L}\,dx$ .
Like funksjon: bare cosinusledd ( $b_n=0$ ). Odde funksjon: bare sinusledd ( $a_n=0$ ).
Halvbølgerekker på $[0,L]$ : utvid $f$ oddetallssymmetrisk (kun $b_n$ , sinusrekke) eller partallsymmetrisk (kun $a_n$ , cosinusrekke), avhengig av hvilke randbetingelser du trenger.
Grunnvinkelfrekvens: $\omega_0 = \pi/L$ .
Parsevals identitet: $\dfrac1L\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)^2\,dx = \dfrac{a_0^2}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)$ – energien i signalet er summen av energien i hvert ledd.
Konvergens (Dirichlets teorem): rekken konvergerer mot $f(x)$ der $f$ er kontinuerlig, og mot gjennomsnittet av venstre og høyre grenseverdi i et sprangpunkt. Gibbs-fenomenet: et oversving på ca. 9 % nær sprang, som ikke forsvinner selv med flere ledd.

Slik løser du oppgavene

Sjekk symmetri først: er $f$ like, odde, eller ingen av delene? Det bestemmer om du slipper $a_n$ eller $b_n$ .
Regn ut $a_0$ , $a_n$ og $b_n$ med integralformlene (bruk delvis integrasjon der $f$ er et polynom ganger sinus/cosinus).
Sett sammen rekken, eller bruk et kjent standardresultat (firkantbølge, sagtann, trekantbølge) hvis oppgaven ber om det.
For halvbølgerekker: bestem om oppgaven trenger sinus- eller cosinusutvidelse ut fra randbetingelsene.
Bruk Parseval til å regne effekt/energi uten å summere hele rekken eksplisitt.

Eksempel

En sagtannbølge har $f(x)=x$ på $(-\pi,\pi)$ , periodisk med periode $2\pi$ . Finn $b_3$ .

$f$ er odde, så $a_n=0$ for alle $n$ , og vi trenger bare $b_n$ .
Standardresultatet for denne funksjonen er $b_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$ .
$b_3 = \dfrac{2(-1)^4}{3} = \dfrac23 \approx 0{,}667$ .

Vanlige feil

Å glemme å sjekke symmetri, og regne ut $a_n$ for en odde funksjon (den blir null, men det er bortkastet arbeid – og fort gjort å regne feil).
Å forveksle $2L$ -periodisk med $L$ -periodisk i formlene for $a_n$ og $b_n$ .
Å tro Gibbs-oversvinget forsvinner med flere ledd – det flytter seg nærmere spranget, men blir ikke mindre.
Å bruke feil symmetri (odde i stedet for like) ved halvbølgeutvidelse.

Sjekk symmetri først – det halverer arbeidet. Fourierrekken konvergerer mot gjennomsnittet av grenseverdiene i et sprang, ikke mot noen av dem.

Begreper i denne delen

FourierkoeffisienterEn periodisk funksjon kan skrives som en sum av sinus- og cosinusledd, en Fourierrekke. Koeffisientene og finn…Odde og like funksjonerSymmetrien til en funksjon forenkler Fourierrekken kraftig: en odde funksjon har bare sinusledd, og en like fu…Gibbs-fenomenetNær et sprang i en funksjon vil en Fourierrekke alltid overskyte litt, uansett hvor mange ledd vi tar med. Det…

Øv på fourierrekker i appen →

3. Partielle differensialligninger

Hva handler det om?

Partielle differensiallikninger (PDE) beskriver størrelser som varierer både i rom og tid – temperatur i en stav, utslag på en streng, potensial i et område. De tre klassiske eksemplene er varmeligningen (diffusjon), bølgeligningen (svingninger som forplanter seg) og Laplaces ligning (stasjonære tilstander). Separasjon av variable bryter en PDE opp i enklere ordinære differensiallikninger, og Fourierrekker limer løsningene sammen slik at rand- og initialbetingelsene stemmer.

Begreper og formler

Varmeligningen: $u_t = c^2u_{xx}$ (parabolsk). Bølgeligningen: $u_{tt}=c^2u_{xx}$ (hyperbolsk). Laplaces ligning: $\nabla^2u=0$ (elliptisk).
Generell klassifisering: for $Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+\dots=0$ er PDE-en elliptisk hvis $B^2-4AC<0$ , parabolsk hvis $=0$ , og hyperbolsk hvis $>0$ .
Separasjon av variable: anta $u(x,t)=X(x)T(t)$ . Innsatt i PDE-en gir dette to koblede ordinære differensiallikninger med en separasjonskonstant $\lambda$ .
Egenverdiproblem med Dirichlet-rand $X(0)=X(L)=0$ : egenverdier $\lambda_n=(n\pi/L)^2$ , egenfunksjoner $X_n=\sin(n\pi x/L)$ , $n=1,2,\dots$
Egenverdiproblem med Neumann-rand (isolerte ender) $X'(0)=X'(L)=0$ : egenfunksjoner $X_n=\cos(n\pi x/L)$ , $n=0,1,2,\dots$ (inkludert den trivielle konstante løsningen $\lambda_0=0$ ).
Varmeligningsløsning: $u(x,t)=\displaystyle\sum_n B_n\sin(n\pi x/L)e^{-c^2(n\pi/L)^2t}$ – hver mode dør ut, høye moder raskest.
D'Alemberts løsning av bølgeligningen: $u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$ , to bølger som beveger seg hver sin vei uten å endre form.

Slik løser du oppgavene

Identifiser typen ligning (varme/bølge/Laplace) og randbetingelsene (Dirichlet: verdi gitt; Neumann: derivert gitt).
Sett $u=X(x)T(t)$ , sett inn i PDE-en, og separer slik at én side bare avhenger av $x$ og den andre bare av $t$ .
Løs egenverdiproblemet for $X$ med randbetingelsene – det gir de tillatte $\lambda_n$ og egenfunksjonene.
Løs likningen for $T(t)$ med den samme $\lambda_n$ .
Summer opp modene med koeffisienter bestemt av initialbetingelsen (ofte via en Fourierrekke).

Eksempel

En streng med lengde $L=2$ og bølgefart $c=3$ har startutslag som er ren mode $n=1$ : $u(x,0)=5\sin(\pi x/2)$ , med starthastighet null. Finn $u(1, 0{,}2)$ .

Med kun mode 1 til stede er løsningen $u(x,t) = 5\sin(\pi x/2)\cos(\omega_1 t)$ , der $\omega_1 = cn\pi/L = 3\pi/2$ .
Ved $x=1$ : $\sin(\pi/2)=1$ .
Ved $t=0{,}2$ : $\omega_1t = 3\pi/2\cdot 0{,}2 \approx 0{,}942$ , og $\cos(0{,}942)\approx 0{,}588$ .
$u(1, 0{,}2) \approx 5\cdot 1\cdot 0{,}588 \approx 2{,}94$ .

Vanlige feil

Å bruke Dirichlet-egenfunksjoner (sinus) når randbetingelsen egentlig er Neumann (isolert ende, cosinus).
Å glemme at bølgeligningens generelle løsning har to vilkårlige funksjoner (fremover- og bakoverbølge), ikke én.
Å blande sammen fortegnet til separasjonskonstanten $\lambda$ – feil fortegn gir voksende i stedet for avtagende eller svingende løsninger.
Å tro at Laplaces ligning har en tidsavhengig løsning – den beskriver en stasjonær tilstand.

Separasjon av variable bryter PDE-en i to ODE-er. Randbetingelsene avgjør egenfunksjonene (sinus for Dirichlet, cosinus for Neumann); initialbetingelsen avgjør koeffisientene foran dem.

Begreper i denne delen

VarmeligningenVarmeligningen beskriver hvordan temperaturen i en stav utvikler seg over tid, og løses ofte ved separasjon av…BølgeligningenBølgeligningen beskriver forstyrrelser som forplanter seg med en fast fart , som på en streng. d'Alemberts løs…Separasjon og Laplaces ligningSeparasjon av variable antar at løsningen kan skrives som et produkt , som gjør en PDE om til to enklere ordin…

Øv på partielle differensialligninger i appen →

Eksempeloppgaver med løsning

Her er noen av oppgavene i laplace, fourier og pde. I appen får regneoppgavene nye tall hver gang, så du kan øve til det sitter – og ta en prøveeksamen med karakter før eksamen.

Laplacetransformasjonen:

\mathcal L\{1\} =

Svar: $1/s$

$\int_0^\infty e^{-st}\,dt = 1/s$ for $s > 0$ .

Fourierrekker: En odde funksjon har en Fourierrekke med bare …

Svar: sinusledd

$\sin$ er odde og $\cos$ er like. Da blir $a_0 = a_n = 0$ .

Partielle differensialligninger: Hvilken ligning er varmeligningen (i én dimensjon)?

Svar: $u_t = c^2u_{xx}$

Den er av første orden i tid og beskriver diffusjon.

Laplacetransformasjonen:

\mathcal L\{t\} =

Svar: $1/s^2$

Generelt er $\mathcal L\{t^n\} = n!/s^{n+1}$ .

Øv på alle oppgavene →

Passer for disse emnene

Innholdet dekker pensum som går igjen i ingeniørutdanningene, blant annet:

DAVE3705 (OsloMet)
TMA4130 (NTNU)