Alle fag › Laplace, Fourier og PDE › Varmeligningen

Varmeligningen

Varmeligningen beskriver hvordan temperaturen $u(x,t)$ i en stav utvikler seg over tid, og løses ofte ved separasjon av variable. Løsningen blir en sum av moder som hver dør ut med sin egen fart - høye moder raskest.

u_t = c^2u_{xx}

varmeligningen (1D)

u_n(x,t) = \sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-c^2(n\pi/L)^2t}

mode n, med

u=0

i begge ender

Symboler

$c^2$	diffusjonskoeffisient
$L$	stavens lengde	m

Eksempel

$c^2=4$ , $L=\pi$ , $n=3$ : avtagningsraten er $\lambda=c^2(n\pi/L)^2=4\cdot9=36$ .

Fordi høye moder dør raskest ut, glattes temperaturprofilen fortere jo lenger tiden går.

Øv på partielle differensialligninger gratis →

← Gibbs-fenomenet · Bølgeligningen →

Del av Laplace, Fourier og PDE: Partielle differensialligninger.