Matematikk S2: gratis øving, teori og oppgaver

1. Følger og rekker

🔗 Felles pensum med R2. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

En følge er en liste med tall. En rekke er summen av leddene i en følge.

Begreper og formler

• Aritmetisk følge (fast differanse $d$): $a_n = a_1 + (n-1)d$, sum $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$.
• Geometrisk følge (fast kvotient $k$): $a_n = a_1 k^{n-1}$, sum $S_n = a_1\dfrac{k^n - 1}{k - 1}$.
• Uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k| < 1$, med sum $S = \dfrac{a_1}{1 - k}$.

Øv på følger og rekker i appen →

2. Sparing, lån og nåverdi

Hva handler det om?

Sparing, lån og investeringer er geometriske rekker i forkledning. Hver innbetaling vokser (eller diskonteres) med samme faktor, så summen blir en geometrisk rekke.

Begreper og formler

• Vekstfaktor per termin: $k = 1 + r$, der $r$ er renten per termin som desimaltall.
• Sparing (sluttverdi): $a$ kr settes inn på slutten av hver termin i $n$ terminer. Rett etter siste innskudd er saldoen $S = a \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$.
• Nåverdi: et beløp $B$ om $n$ terminer er verdt $\dfrac{B}{k^n}$ i dag. Nåverdien av $n$ like beløp $a$ (første om én termin) er $N = a \cdot \dfrac{1 - k^{-n}}{r}$.
• Annuitetslån: like store terminbeløp. Lånet $L$ er nåverdien av alle terminbeløpene, så $a = \dfrac{L \cdot r}{1 - (1 + r)^{-n}}$.
• Serielån: like store avdrag $L/n$. Renten regnes av restlånet, så terminbeløpet synker over tid.

Eksempel

Lån på 1 000 000 kr, 5 % rente, 20 årlige terminer (annuitet): $a = \dfrac{1\,000\,000 \cdot 0{,}05}{1 - 1{,}05^{-20}} \approx 80\,243$ kr per år. Som serielån er første terminbeløp $50\,000 + 50\,000 = 100\,000$ kr, og det synker med 2500 kr hvert år.

Øv på sparing, lån og nåverdi i appen →

3. Derivasjonsregler i praksis

🔗 Felles pensum med R1. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

Her trener du på reglene du trenger for å derivere alt i R1: potenser, $e^x$, $\ln x$, og kombinasjoner med produkt-, brøk- og kjerneregelen.

Begreper og formler

• $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• Kjerneregelen: $\big(e^{kx}\big)' = ke^{kx}$, $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$, $\big((ax + b)^n\big)' = na(ax + b)^{n-1}$.
• Produktregelen: $(uv)' = u'v + uv'$. Eksempel: $(x e^x)' = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$.
• Brøkregelen: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Eksempel: $\left(\dfrac{x}{x + 1}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.

Fremgangsmåte

1. Se etter strukturen: er det et produkt, en brøk eller en funksjon av en funksjon?
2. Velg regel og skriv opp $u$, $v$ (eller kjernen $u$) og deres deriverte.
3. Sett sammen og forenkle. Sett inn tall helt til slutt.

Øv på derivasjonsregler i praksis i appen →

4. Kostnad, inntekt og overskudd

🔗 Felles pensum med S1. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

Bedrifter bruker funksjoner for å beskrive hva det koster å produsere $x$ enheter, hva de tjener, og når overskuddet blir størst. Den deriverte kalles her grensekostnad og grenseinntekt.

Begreper og formler

• Kostnadsfunksjon $K(x)$: faste kostnader (konstantleddet) pluss variable kostnader. Eksempel: $K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$.
• Inntektsfunksjon ved fast pris $p$: $I(x) = p \cdot x$.
• Overskudd: $O(x) = I(x) - K(x)$.
• Grensekostnad $K'(x)$: omtrent hva det koster å lage én enhet til. Grenseinntekt $I'(x)$ på samme måte.
• Størst overskudd når $O'(x) = 0$, altså når grenseinntekt = grensekostnad: $I'(x) = K'(x)$.
• Enhetskostnad $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$. Den er minst der $E(x) = K'(x)$.

Eksempel

$K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$ og prisen er 100 kr. $O'(x) = 100 - (0{,}04x + 20) = 0$ gir $x = 2000$ enheter. Overskuddet er da $O(2000) = 200\,000 - (80\,000 + 40\,000 + 5000) = 75\,000$ kr.

Øv på kostnad, inntekt og overskudd i appen →

5. Sannsynlighetsfordelinger

Hva handler det om?

En sannsynlighetsfordeling forteller hvor sannsynlig hvert mulig utfall er. Med forventning og standardavvik beskriver du «midten» og «spredningen». De to viktigste fordelingene er binomisk fordeling og normalfordelingen.

Begreper og formler

• Forventningsverdi: $E(X) = \sum x \cdot P(X = x)$. For en terning: $E(X) = 3{,}5$.
• Varians $\text{Var}(X) = \sum (x - \mu)^2 P(X = x)$, standardavvik $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.
• Binomisk fordeling ($n$ uavhengige forsøk, sannsynlighet $p$ for suksess): $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$, $E(X) = np$, $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$.
• Normalfordelingen $N(\mu, \sigma)$: klokkeformet. Omtrent 68 % ligger innenfor $\mu \pm \sigma$, 95 % innenfor $\mu \pm 2\sigma$ og 99,7 % innenfor $\mu \pm 3\sigma$.
• Standardisering: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$, og $P(X < a) = \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$. Viktige verdier: $\Phi(1{,}645) = 0{,}95$, $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$.
• Sentralgrenseteoremet: summer og gjennomsnitt av mange uavhengige variabler blir tilnærmet normalfordelt.

Eksempel

Høyden til 18-åringer er $N(175, 7)$ cm. Andelen under 182 cm er $\Phi\!\left(\dfrac{182 - 175}{7}\right) = \Phi(1) \approx 0{,}841$.

Øv på sannsynlighetsfordelinger i appen →

6. Hypotesetesting

Hva handler det om?

En hypotesetest avgjør om data gir grunn nok til å forkaste en påstand. Er en mynt skjev? Virker en ny medisin? Har et nytt opplegg hevet snittkarakteren?

Begreper og formler

• Nullhypotesen $H_0$: «ingen endring», for eksempel $p = 0{,}5$.
• Alternativ hypotese $H_1$: det vi vil vise, for eksempel $p > 0{,}5$ (ensidig) eller $p \ne 0{,}5$ (tosidig).
• Signifikansnivå $\alpha$: vanligvis 5 %. Det er sannsynligheten for å forkaste $H_0$ selv om den er sann (type I-feil).
• P-verdi: sannsynligheten for et resultat minst like ekstremt som det vi observerte, **gitt at $H_0$ er sann**.
• Beslutning: er p-verdien mindre enn $\alpha$, forkaster vi $H_0$. Ellers har vi ikke nok bevis (det betyr ikke at $H_0$ er bevist).
• Testobservator for gjennomsnitt: $Z = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$. For en andel: $Z = \dfrac{X - np_0}{\sqrt{np_0(1 - p_0)}}$.
• Ensidig test på 5 %-nivå: forkast når $Z > 1{,}645$. Tosidig: når $|Z| > 1{,}96$.

Eksempel

En mynt gir 60 kron på 100 kast. $H_0: p = 0{,}5$, $H_1: p > 0{,}5$. $Z = \dfrac{60 - 50}{\sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}} = \dfrac{10}{5} = 2$. P-verdien er $1 - \Phi(2) \approx 0{,}023 < 0{,}05$, så vi forkaster $H_0$: mynten ser ut til å være skjev.

Øv på hypotesetesting i appen →