Alle fag › Elementmetoden

Elementmetoden (FEM): gratis øving, teori og oppgaver

Elementmetoden (FEM) løser kompliserte konstruksjonsproblemer ved å dele opp en struktur i mange små, enkle elementer der vi kjenner sammenhengen mellom krefter og forskyvninger nøyaktig. Stavelementet (1D, aksialt) er det enkleste elementet og viser selve grunnideen: hvert element har en stivhetsmatrise som knytter nodeforskyvninger til nodekrefter, og disse settes sammen (assembleres) til en global ligning for hele strukturen.

3 deler49 oppgaver9 begreper forklartPrøveeksamenGratis

Start å øve gratis →

1. Stavelementer og stivhetsmatriser

Hva handler det om?

Begreper og formler

Stivhetsmatrisen til et stavelement: k^{(e)} = \frac{EA}{L}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} der $E$ er E-modulen, $A$ tverrsnittsarealet og $L$ elementlengden.
Elementligningen: $k^{(e)}\vec u^{(e)} = \vec f^{(e)}$ , der $\vec u^{(e)}$ er nodeforskyvningene og $\vec f^{(e)}$ nodekreftene.
Global assemblering: elementmatrisene legges inn i en global matrise $K$ etter hvilke globale frihetsgrader (DOF) nodene har. Noder som deles av flere elementer, får bidrag fra alle.
Den globale ligningen $K\vec u = \vec f$ er singulær (ikke inverterbar) før randbetingelser er satt inn, fordi strukturen ellers kan bevege seg fritt som et stivt legeme.
Randbetingelser (f.eks. en fastholdt node, $u=0$ ) fjernes fra ligningssystemet før man løser for de ukjente forskyvningene; deretter kan reaksjonskreftene i de fastholdte nodene regnes ut.
Stivhetsmatrisen er symmetrisk (Maxwell–Bettis resiprositetsteorem) og som regel glissen (sparse), fordi hver node bare er koblet til sine nærmeste naboer.
Spenningen i et element beregnes etterpå fra forskyvningene: $\sigma = E\varepsilon = E\dfrac{u_2-u_1}{L}$ .

Slik løser du oppgavene

Sett opp stivhetsmatrisen $EA/L$ (eller den gitte fjærstivheten $k$ ) for hvert element.
Assembler: legg elementbidragene inn i riktige rader/kolonner i den globale matrisen etter nodenumrene.
Sett inn randbetingelsene (fjern rader/kolonner for fastholdte frihetsgrader, eller sett dem til en kjent verdi).
Løs $K\vec u = \vec f$ for de ukjente forskyvningene.
Regn ut spenning/tøyning og eventuelt reaksjonskrefter fra forskyvningene.

Eksempel

To stavelementer i serie: element 1 har $k_1 = 800$ N/mm, element 2 har $k_2 = 400$ N/mm. Node 1 er fastholdt, og en kraft på 600 N virker i node 3 (den frie enden). Finn $u_3$ .

Frihetsgraden i node 1 er fjernet ( $u_1=0$ ).
Kraften i node 3 overføres gjennom begge elementene i serie, så forskyvningene legges sammen: $u_3 = F/k_1 + F/k_2$ .
$u_3 = 600/800 + 600/400 = 0{,}75 + 1{,}5 = 2{,}25$ mm.

Vanlige feil

Å glemme å fjerne randbetingelsene før man løser ligningssystemet (matrisen er da singulær og kan ikke inverteres).
Å legge sammen elementbidrag feil sted ved assemblering – sjekk alltid nodenumrene.
Å blande enheter, f.eks. GPa og mm² uten å konvertere til N/mm² (MPa).
Å tro at stivere (høyere $EA/L$ ) betyr mer forskyvning – det er motsatt.

Stivhetsmatrisen

EA/L\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}

er byggesteinen i FEM: assembler den for hvert element inn i en global matrise, sett inn randbetingelser, og løs

K\vec u = \vec f

Begreper i denne delen

Stivhetsmatrise for stavelementI elementmetoden erstattes en stav med to noder og en stivhetsmatrise som kobler nodeforskyvningene til nodekr…AssembleringEn konstruksjon settes sammen av flere elementer som deler noder. Assemblering legger elementmatrisene inn i é…Randbetingelser og Ku = fDen globale stivhetsmatrisen er singulær før randbetingelser er satt inn, fordi konstruksjonen ennå kan bevege…

Øv på stavelementer og stivhetsmatriser i appen →

2. Svak form og formfunksjoner

Hva handler det om?

For å bruke elementmetoden på problemer styrt av differensialligninger (f.eks. aksial elastisitet eller varmeledning) omformer vi den «sterke formen» (selve differensialligningen, som krever at løsningen er glatt nok til å deriveres to ganger) til en «svak form» ved å multiplisere med en testfunksjon og integrere delvis. Det senker kravet til deriverbarhet og er nøyaktig det som gjør det mulig å bruke enkle, stykkevis lineære formfunksjoner i hvert element.

Begreper og formler

Formfunksjoner $N_i(\xi)$ interpolerer løsningen inne i elementet fra nodeverdiene: $u(\xi) = \sum_i N_i(\xi)u_i$ . For et lineært element på $\xi\in[0,1]$ : $N_1 = 1-\xi$ , $N_2 = \xi$ .
Formfunksjonene oppfyller Kronecker delta-egenskapen $N_i(\xi_j) = \delta_{ij}$ (1 i egen node, 0 i de andre) og er en partisjon av enheten ( $\sum_i N_i = 1$ overalt), slik at elementet kan gjengi en konstant (stivlegeme-) forskyvning nøyaktig.
Galerkins metode velger testfunksjonene fra samme rom som formfunksjonene – standard FEM er derfor Bubnov–Galerkin.
Essensielle (Dirichlet) randbetingelser settes direkte på de ukjente (f.eks. $u=0$ ); naturlige (Neumann) randbetingelser (kraft, fluks) kommer automatisk inn via randleddet som oppstår ved delvis integrasjon.
Isoparametriske elementer bruker samme formfunksjoner til å beskrive både geometri og forskyvning. Avbildningen fra et referanseelement (f.eks. $\xi\in[-1,1]$ ) til det fysiske elementet styres av Jacobianen $J = dx/d\xi$ , som skalerer integraler mellom de to.
Gauss-kvadratur beregner integraler numerisk med et fåtall punkter: $n$ punkter integrerer polynomer eksakt opp til grad $2n-1$ . 2-punkts Gauss (ved $\xi=\pm1/\sqrt3$ , vekt 1 hver) er dermed eksakt til og med grad 3.

Slik løser du oppgavene

Identifiser om du skal interpolere en verdi ( $u=\sum N_iu_i$ ), evaluere en formfunksjon i et punkt, eller integrere numerisk.
For interpolasjon: finn riktig $\xi$ (normalisert posisjon) og sett inn i $N_1, N_2$ .
For Gauss-kvadratur: sett inn kvadraturpunktene i integranden, multipliser med vektene og summer.
Husk Jacobianen når du bytter fra fysiske koordinater til referansekoordinater i et integral.

Eksempel

Bruk 2-punkts Gauss-kvadratur ( $\xi=\pm1/\sqrt3$ , vekt 1 hver) til å beregne $\int_{-1}^{1}(2\xi^2+3)\,d\xi$ .

$f(1/\sqrt3) = 2\cdot(1/3)+3 = 3{,}667$ , og $f(-1/\sqrt3)$ blir det samme siden $\xi^2$ er likt.
Summen: $1\cdot3{,}667+1\cdot3{,}667 = 7{,}333$ .
Kontroll: eksakt verdi er $\int_{-1}^1(2\xi^2+3)d\xi = 4/3+6 = 7{,}333$ – siden integranden har grad 2 ( $\le 3$ ), er 2-punkts Gauss eksakt.

Vanlige feil

Å blande sammen $\xi$ -konvensjonene $[0,1]$ (formfunksjoner) og $[-1,1]$ (Gauss-kvadratur) – sjekk alltid hvilket intervall oppgaven bruker.
Å tro at flere Gauss-punkter alltid gir et «riktigere» svar enn nødvendig – for et polynom av lav grad er få punkter eksakt.
Å glemme Jacobianen ved integrasjon over referanseelementet.
Å tro naturlige og essensielle randbetingelser behandles likt i svak form.

Svak form senker deriverbarhetskravet ved delvis integrasjon; formfunksjonene interpolerer løsningen og summerer til 1, og Gauss-kvadratur med

n

punkter er eksakt opp til grad

2n-1

Begreper i denne delen

FormfunksjonerFormfunksjoner beskriver hvordan forskyvningen interpoleres mellom nodeverdiene inni et element. For et lineær…Svak formDifferensiallikninger stiller ofte krav om deriverbarhet som er strengere enn det enkle elementer kan gi. Ved …Gauss-kvadraturElementintegraler regnes sjelden ut analytisk – i stedet brukes numerisk integrasjon i noen få punkter. Gauss-…

Øv på svak form og formfunksjoner i appen →

3. Elementtyper, mesh og feil

Hva handler det om?

Å velge riktig elementtype og lage en god mesh (nettverk av elementer) er avgjørende for om en FEM-analyse gir et nøyaktig og troverdig svar. Denne enheten handler om hvilke elementer som finnes, hvordan man forfiner en mesh, hvilke feilkilder som finnes, og hvordan man kontrollerer at en modell er riktig.

Begreper og formler

Elementtyper: CST (constant strain triangle, lineær trekant) gir konstant tøyning/spenning i hele elementet og krever fin mesh der spenningen varierer mye. Kvadratiske elementer (f.eks. LST) gir bedre nøyaktighet per element. Elementer har ulikt antall frihetsgrader per node avhengig av type (f.eks. 2 for 2D-stav, 3 for 2D-bjelke, 6 for 3D-bjelke).
h-forfining: gjør elementene mindre (flere elementer). p-forfining: øker polynomgraden til formfunksjonene i eksisterende elementer. Begge gir konvergens mot den eksakte løsningen.
Forskyvningene er kontinuerlige mellom elementer i vanlig forskyvningsbasert FEM, men spenningene er det ikke – de hopper ofte litt mellom elementer og glattes i etterbehandlingen.
Feilen i forskyvning avtar typisk som $O(h^{p+1})$ når elementstørrelsen $h$ minker, for elementer av polynomgrad $p$ . Halveres $h$ , blir feilen $2^{p+1}$ ganger mindre.
Skjærlåsing (shear locking): lineære elementer kan bli kunstig stive i bøyning. Løses med kvadratiske elementer eller redusert integrasjon.
Ved skarpe innvendige hjørner er spenningen teoretisk uendelig (en singularitet); spenningen i modellen vokser da bare videre når meshen forfines, i stedet for å konvergere. Løsningen er å modellere en reell avrunding.
En konvergensstudie forfiner meshen gradvis og sjekker om en interessestørrelse (f.eks. maks spenning) slutter å endre seg vesentlig – det er slik man vet meshen er fin nok.

Slik løser du oppgavene

Identifiser hva slags feilkilde eller elementegenskap spørsmålet gjelder: elementtype, forfining, kontinuitet, eller singularitet.
For DOF-telling: multipliser antall noder med frihetsgrader per node for elementtypen.
For konvergens: bruk $O(h^{p+1})$ til å regne ut hvor mye mindre feilen blir når $h$ endres.
Husk at mesh bør være finest der spenningsgradientene er størst, ikke jevnt fordelt overalt.

Eksempel

En modell med 3D-bjelkeelementer (6 frihetsgrader per node) har 25 noder. Feilen i forskyvning går som $O(h^2)$ (lineære elementer, $p=1$ ). Hvor mange frihetsgrader har modellen, og hvor mye mindre blir feilen hvis $h$ deles på 2?

Frihetsgrader: $25\cdot 6 = 150$ .
Feilfaktor: $2^{1+1} = 4$ ganger mindre feil.

Vanlige feil

Å tro spenningene er kontinuerlige mellom elementer slik forskyvningene er det.
Å tro finere mesh alltid hjelper ved et skarpt hjørne – der er spenningen singulær og «konvergerer» aldri i modellen.
Å glemme å multiplisere med frihetsgrader per node ved DOF-telling.
Å forveksle h- og p-forfining.

Finere mesh og høyere elementorden gir konvergens (

O(h^{p+1})

), unntatt ved singulariteter. Kontroller alltid resultatet med en konvergensstudie og en sjekk av reaksjonskrefter.

Begreper i denne delen

CST-elementetDet enkleste todimensjonale elementet er den lineære trekanten, ofte kalt CST (constant strain triangle). Fors…Meshforfining og konvergensFEM-løsningen nærmer seg den eksakte løsningen når elementene gjøres mindre (h-forfining) eller polynomgraden …SpenningssingularitetEt matematisk skarpt innvendig hjørne gir en teoretisk uendelig spenning i FEM-modellen: spenningen der vokser…

Øv på elementtyper, mesh og feil i appen →

Eksempeloppgaver med løsning

Her er noen av oppgavene i elementmetoden. I appen får regneoppgavene nye tall hver gang, så du kan øve til det sitter – og ta en prøveeksamen med karakter før eksamen.

Stavelementer og stivhetsmatriser: Hva er stivhetsmatrisen til et lineært stavelement (1D)?

Svar: $\dfrac{EA}{L}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$

Den er symmetrisk og singulær for ett element alene.

Svak form og formfunksjoner: Hva oppnår man ved å skrive om til svak form?

Svar: Lavere krav til deriverbarhet: én derivasjon flyttes over på testfunksjonen

Man integrerer delvis.

Elementtyper, mesh og feil: Hva kjennetegner et CST-element (lineær trekant)?

Svar: Konstant tøyning og spenning i hele elementet

Det krever fin mesh der spenningsgradientene er store.

Stavelementer og stivhetsmatriser: Hvorfor er den globale stivhetsmatrisen singulær før randbetingelsene er satt inn?

Svar: Konstruksjonen kan bevege seg som et stivt legeme

Man må låse nok frihetsgrader til å hindre stivlegemebevegelse.

Øv på alle oppgavene →

Passer for disse emnene

Innholdet dekker pensum som går igjen i ingeniørutdanningene, blant annet:

TMM4135 (NTNU)
TBM350 (NMBU)