Matematikk for økonomer: gratis øving, teori og oppgaver

1. Funksjoner, marginalanalyse og elastisitet

Hva handler det om?

Økonomer bruker funksjoner for kostnad, inntekt og etterspørsel. Den deriverte kalles marginal (hva skjer med én enhet til), og elastisitet måler hvor følsom etterspørselen er for pris.

Begreper og formler

• Grensekostnad $K'(x)$, grenseinntekt $I'(x)$. Maks overskudd der $I'(x) = K'(x)$.
• Lineær etterspørsel: $x = a - bp$. Inntekt: $I = p \cdot x$.
• Priselastisitet: $E_p = \dfrac{dx}{dp}\cdot\dfrac{p}{x}$. Tolkning: prosent endring i etterspurt mengde når prisen øker med 1 %.
• $|E_p| > 1$: elastisk (prisøkning gir lavere inntekt). $|E_p| < 1$: uelastisk (prisøkning gir høyere inntekt).
• Inntekten er størst der $|E_p| = 1$.

Eksempel

$x = 1000 - 5p$ og $p = 80$: $x = 600$, $\dfrac{dx}{dp} = -5$, $E_p = -5 \cdot \dfrac{80}{600} = -0{,}67$. Uelastisk: en prisøkning gir mer inntekt.

Øv på funksjoner, marginalanalyse og elastisitet i appen →

2. Kostnad, inntekt og overskudd

🔗 Felles pensum med Matematikk S1. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

Bedrifter bruker funksjoner for å beskrive hva det koster å produsere $x$ enheter, hva de tjener, og når overskuddet blir størst. Den deriverte kalles her grensekostnad og grenseinntekt.

Begreper og formler

• Kostnadsfunksjon $K(x)$: faste kostnader (konstantleddet) pluss variable kostnader. Eksempel: $K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$.
• Inntektsfunksjon ved fast pris $p$: $I(x) = p \cdot x$.
• Overskudd: $O(x) = I(x) - K(x)$.
• Grensekostnad $K'(x)$: omtrent hva det koster å lage én enhet til. Grenseinntekt $I'(x)$ på samme måte.
• Størst overskudd når $O'(x) = 0$, altså når grenseinntekt = grensekostnad: $I'(x) = K'(x)$.
• Enhetskostnad $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$. Den er minst der $E(x) = K'(x)$.

Eksempel

$K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$ og prisen er 100 kr. $O'(x) = 100 - (0{,}04x + 20) = 0$ gir $x = 2000$ enheter. Overskuddet er da $O(2000) = 200\,000 - (80\,000 + 40\,000 + 5000) = 75\,000$ kr.

Øv på kostnad, inntekt og overskudd i appen →

3. Derivasjonsregler i praksis

🔗 Felles pensum med Matematikk R1. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

Her trener du på reglene du trenger for å derivere alt i R1: potenser, $e^x$, $\ln x$, og kombinasjoner med produkt-, brøk- og kjerneregelen.

Begreper og formler

• $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• Kjerneregelen: $\big(e^{kx}\big)' = ke^{kx}$, $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$, $\big((ax + b)^n\big)' = na(ax + b)^{n-1}$.
• Produktregelen: $(uv)' = u'v + uv'$. Eksempel: $(x e^x)' = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$.
• Brøkregelen: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Eksempel: $\left(\dfrac{x}{x + 1}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.

Fremgangsmåte

1. Se etter strukturen: er det et produkt, en brøk eller en funksjon av en funksjon?
2. Velg regel og skriv opp $u$, $v$ (eller kjernen $u$) og deres deriverte.
3. Sett sammen og forenkle. Sett inn tall helt til slutt.

Øv på derivasjonsregler i praksis i appen →

4. Sparing, lån og nåverdi

🔗 Felles pensum med Matematikk S2. Oppgavene er de samme, men fremgangen din telles for hvert fag.

Hva handler det om?

Sparing, lån og investeringer er geometriske rekker i forkledning. Hver innbetaling vokser (eller diskonteres) med samme faktor, så summen blir en geometrisk rekke.

Begreper og formler

• Vekstfaktor per termin: $k = 1 + r$, der $r$ er renten per termin som desimaltall.
• Sparing (sluttverdi): $a$ kr settes inn på slutten av hver termin i $n$ terminer. Rett etter siste innskudd er saldoen $S = a \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$.
• Nåverdi: et beløp $B$ om $n$ terminer er verdt $\dfrac{B}{k^n}$ i dag. Nåverdien av $n$ like beløp $a$ (første om én termin) er $N = a \cdot \dfrac{1 - k^{-n}}{r}$.
• Annuitetslån: like store terminbeløp. Lånet $L$ er nåverdien av alle terminbeløpene, så $a = \dfrac{L \cdot r}{1 - (1 + r)^{-n}}$.
• Serielån: like store avdrag $L/n$. Renten regnes av restlånet, så terminbeløpet synker over tid.

Eksempel

Lån på 1 000 000 kr, 5 % rente, 20 årlige terminer (annuitet): $a = \dfrac{1\,000\,000 \cdot 0{,}05}{1 - 1{,}05^{-20}} \approx 80\,243$ kr per år. Som serielån er første terminbeløp $50\,000 + 50\,000 = 100\,000$ kr, og det synker med 2500 kr hvert år.

Øv på sparing, lån og nåverdi i appen →