Fysikk: gratis øving, teori og oppgaver

Alt som svinger fram og tilbake rundt en likevektsstilling – en masse i en fjær, en pendel, en bro i vind eller en maskin som vibrerer – kan i første omgang beskrives som en harmonisk oscillator. En bølge er en svingning som brer seg i rommet: lyd, vannbølger og bølger på en streng.

3 deler58 oppgaver13 begreper forklartPrøveeksamenGratis

Start å øve gratis →

1. Svingninger og bølger

Hva handler det om?

Alt som svinger fram og tilbake rundt en likevektsstilling – en masse i en fjær, en pendel, en bro i vind eller en maskin som vibrerer – kan i første omgang beskrives som en harmonisk oscillator. En bølge er en svingning som brer seg i rommet: lyd, vannbølger og bølger på en streng.

For en ingeniør er dette viktig fordi alle konstruksjoner har egenfrekvenser. Hvis de påvirkes med en frekvens nær en egenfrekvens, kan utslagene bli farlig store (resonans).

Begreper og formler

Utslag: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ , der $A$ er amplituden (største utslag).
Vinkelfrekvens $\omega$ (rad/s), frekvens $f$ (Hz) og periode $T$ (s): $\omega = 2\pi f$ og $T = 1/f$ .
Masse–fjær-system: $\omega = \sqrt{k/m}$ , altså $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ .
Matematisk pendel (små utslag): $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ . Perioden er uavhengig av massen.
Største fart og akselerasjon: $v_{maks} = A\omega$ (i likevektsstillingen) og $a_{maks} = A\omega^2$ (i ytterstillingene).
Energi: $E = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 m v_{maks}^2$ . Energien veksler mellom kinetisk og potensiell form.
Bølger: $v = f\lambda$ . På en streng med strekkraft $F$ og masse per lengde $\mu$ er $v = \sqrt{F/\mu}$ .
Stående bølger på en streng som er fast i begge ender: $L = n\lambda/2$ , så $f_n = \dfrac{nv}{2L}$ med $n = 1, 2, 3, \dots$

Slik løser du oppgavene

Finn ut hva som svinger, og skriv opp kjente størrelser i SI-enheter (cm → m, g → kg).
Regn ut $\omega$ fra systemet ( $\sqrt{k/m}$ eller $\sqrt{g/L}$ ).
Gå videre til $f = \omega/(2\pi)$ og $T = 1/f$ , eller til $v_{maks}$ , $a_{maks}$ og energi.
For bølger: finn bølgefarten først, og deretter $\lambda$ eller $f$ fra $v = f\lambda$ .
Sjekk størrelsesordenen: en liten kloss i en fjær svinger typisk noen ganger per sekund.

Eksempel

En kloss på 2 kg henger i en fjær med $k = 800$ N/m og svinger med amplitude 10 cm. Finn perioden, den største farten og energien.

$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{800/2} = 20$ rad/s.
$T = 2\pi/\omega = 2\pi/20 \approx 0{,}314$ s, og $f = 1/T \approx 3{,}18$ Hz.
$v_{maks} = A\omega = 0{,}10\cdot 20 = 2{,}0$ m/s.
$E = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12\cdot 800\cdot 0{,}10^2 = 4{,}0$ J. Kontroll: $\tfrac12 mv_{maks}^2 = \tfrac12\cdot 2\cdot 2^2 = 4$ J.

Svar: $T \approx 0{,}314$ s, $v_{maks} = 2{,}0$ m/s og $E = 4{,}0$ J.

Vanlige feil

Å blande $\omega$ (rad/s) og $f$ (Hz). Husk faktoren $2\pi$ .
Å glemme å gjøre om cm til m før man regner ut energien.
Å tro at perioden til en pendel avhenger av massen eller amplituden (ved små utslag gjør den ikke det).
Å bruke $L = n\lambda$ i stedet for $L = n\lambda/2$ for stående bølger.

Masse–fjær:

\omega = \sqrt{k/m}

. Pendel:

T = 2\pi\sqrt{L/g}

. Bølger:

v = f\lambda

. Farten er størst i likevektsstillingen.

Begreper i denne delen

Harmonisk svingningEn harmonisk oscillator beveger seg fram og tilbake rundt en likevektsstilling med et utslag som følger en cos…Masse–fjær og pendelTo vanlige systemer svinger harmonisk: en masse festet til en fjær, og en pendel som svinger med små utslag. P…Energi i svingningerI en harmonisk svingning veksler energien mellom kinetisk og potensiell form, mens totalenergien holdes konsta…Bølger på en strengEn bølge er en svingning som brer seg i rommet. På en streng bestemmes bølgefarten av strekkraften og massen p…

Øv på svingninger og bølger i appen →

2. Elektrisitet og magnetisme

Hva handler det om?

Elektriske ladninger virker på hverandre med krefter, og ladninger i bevegelse (strøm) skaper magnetfelt. Et magnetfelt som endrer seg, skaper i sin tur en elektrisk spenning. Disse tre ideene er grunnlaget for elektromotorer, generatorer, transformatorer, sensorer og hele strømnettet.

Nøkkelen er feltbegrepet: en ladning (eller en strøm) lager et felt i rommet rundt seg, og feltet virker med kraft på andre ladninger (eller strømmer) som befinner seg der.

Begreper og formler

Ladning $q$ måles i coulomb (C). Elementærladningen er $e = 1{,}602\cdot10^{-19}$ C.
Coulombs lov: $F = k\dfrac{q_1q_2}{r^2}$ med $k = 8{,}99\cdot10^9$ N·m²/C². Like ladninger frastøter hverandre, ulike tiltrekker hverandre.
Elektrisk felt: $E = F/q$ (N/C). Fra en punktladning: $E = kq/r^2$ . Mellom to parallelle plater: $E = U/d$ .
Potensial (spenning): $U = W/q$ i volt. En ladning som går gjennom spenningen $U$ , får energien $qU$ .
Magnetisk kraft på en ladning: $F = qvB\sin\theta$ , vinkelrett på både $\vec v$ og $\vec B$ .
Kraft på en strømførende leder: $F = BIL\sin\theta$ .
Felt rundt en lang, rett leder: $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ med $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ T·m/A.
Magnetisk fluks: $\Phi = BA\cos\theta$ (Wb).
Faradays lov: $\varepsilon = -N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ . Minustegnet er Lenz' lov: den induserte strømmen motvirker endringen.

Slik løser du oppgavene

Gjør alle størrelser om til SI: µC → $10^{-6}$ C, cm → m, cm² → $10^{-4}$ m².
Velg riktig lov: kraft mellom ladninger (Coulomb), kraft i magnetfelt ( $qvB$ eller $BIL$ ) eller induksjon (Faraday).
Regn ut tallverdien først, og bestem retningen etterpå (fortegn, høyrehåndsregel, Lenz).
Ved induksjon: finn $\Delta\Phi$ , del på $\Delta t$ og gang med $N$ . Strømmen blir $I = \varepsilon/R$ .

Eksempel

En spole har 200 vindinger og tverrsnittsareal 0,01 m². Den står vinkelrett på et magnetfelt som øker jevnt fra 0 til 0,5 T på 0,1 s. Spolen har motstanden 4 Ω. Finn indusert spenning og strøm.

Endring i fluks per vinding: $\Delta\Phi = A\,\Delta B = 0{,}01\cdot 0{,}5 = 0{,}005$ Wb.
Indusert spenning: $\varepsilon = N\Delta\Phi/\Delta t = 200\cdot 0{,}005/0{,}1 = 10$ V.
Strøm: $I = \varepsilon/R = 10/4 = 2{,}5$ A.

Svar: 10 V og 2,5 A. Strømmen går slik at dens eget magnetfelt motvirker økningen i det ytre feltet (Lenz).

Vanlige feil

Å glemme å kvadrere avstanden i Coulombs lov.
Å sette µC eller cm rett inn i formlene uten å gjøre om til SI.
Å tro at et sterkt, men konstant magnetfelt induserer spenning. Det er endringen i fluks som teller.
Å tro at magnetkraften gjør arbeid på en ladning. Den står vinkelrett på farten og endrer bare retningen.

Elektrisk:

F = kq_1q_2/r^2

E = F/q

. Magnetisk:

F = qvB

F = BIL

. Induksjon:

\varepsilon = -N\,\Delta\Phi/\Delta t

– bare endring gir spenning.

Begreper i denne delen

Coulombs lovLadde partikler virker på hverandre med en elektrisk kraft som avtar med kvadratet av avstanden. Like ladninge…Elektrisk felt og potensialEn ladning lager et elektrisk felt i rommet rundt seg, og feltet virker med kraft på andre ladninger som befin…Magnetisk kraftEn ladning som beveger seg i et magnetfelt, kjenner en kraft som står vinkelrett på både farten og feltet, git…Induksjon (Faradays lov)Magnetisk fluks er et mål på hvor mye magnetfelt som går gjennom en flate. Bare en endring i fluksen induserer…

Øv på elektrisitet og magnetisme i appen →

3. Energi og rotasjon

Hva handler det om?

Energi er fysikkens mest nyttige «valuta»: den kan ikke oppstå eller forsvinne, bare gå over fra én form til en annen. Med energibevaring kan du ofte finne en fart uten å vite noe om kreftene og tidene underveis.

For roterende maskiner – hjul, svinghjul, turbiner og motorer – finnes det en parallell verden av størrelser: vinkelfart, treghetsmoment, kraftmoment og spinn. Ser du parallellene til rettlinjet bevegelse ( $m \leftrightarrow I$ , $v \leftrightarrow \omega$ , $F \leftrightarrow \tau$ ), blir rotasjon lett.

Begreper og formler

Arbeid: $W = Fs\cos\theta$ (J). Bare kraftkomponenten langs bevegelsen gjør arbeid.
Kinetisk energi $E_k = \tfrac12mv^2$ og potensiell energi $E_p = mgh$ .
Energibevaring uten friksjon: $E_k + E_p$ er konstant. Med friksjon går noe over til varme.
Effekt: $P = W/t = Fv$ (W).
Bevegelsesmengde $p = mv$ . Den er bevart i støt når ytre krefter kan neglisjeres. I et fullstendig uelastisk støt henger legemene sammen, og kinetisk energi går tapt.
Rotasjon: vinkelfart $\omega$ (rad/s), vinkelakselerasjon $\alpha$ (rad/s²), $v = \omega r$ og $\omega = 2\pi n/60$ når $n$ er omdreininger per minutt.
Treghetsmoment $I$ : punktmasse $mr^2$ , tynn ring $MR^2$ , massiv sylinder $\tfrac12MR^2$ , massiv kule $\tfrac25MR^2$ .
Newtons 2. lov for rotasjon: $\tau = I\alpha$ . Rotasjonsenergi: $\tfrac12I\omega^2$ . Spinn: $L = I\omega$ , bevart uten ytre moment.
Rulling uten gliding: $E_k = \tfrac12mv^2 + \tfrac12I\omega^2$ med $\omega = v/R$ .

Slik løser du oppgavene

Avgjør om oppgaven handler om energi (farter og høyder), bevegelsesmengde (støt) eller rotasjon (moment og spinn).
Skriv opp energien eller bevegelsesmengden før og etter.
Sett før lik etter (pluss eventuelt tap), og løs for den ukjente.
Ved rulling: husk at en del av energien går til rotasjon.

Eksempel

En massiv sylinder slippes fra ro og ruller uten å gli ned et skråplan. Høydeforskjellen er 1,5 m. Hvor stor fart har den nederst?

Energibevaring: $mgh = \tfrac12mv^2 + \tfrac12I\omega^2$ .
Med $I = \tfrac12mR^2$ og $\omega = v/R$ blir rotasjonsleddet $\tfrac14mv^2$ , så $mgh = \tfrac34mv^2$ .
$v = \sqrt{4gh/3} = \sqrt{4\cdot 9{,}81\cdot 1{,}5/3} \approx 4{,}43$ m/s.

Svar: 4,43 m/s. En kloss som glir uten friksjon, ville fått $\sqrt{2gh} \approx 5{,}42$ m/s. Forskjellen er energien som ligger i rotasjonen.

Vanlige feil

Å regne arbeid for en kraft som står vinkelrett på bevegelsen (arbeidet er null).
Å bruke bevaring av kinetisk energi i et uelastisk støt. Bruk bevegelsesmengde der.
Å glemme rotasjonsenergien når noe ruller.
Å bruke omdreininger per minutt direkte i stedet for rad/s.

Energi før = energi etter (+ tap). I støt er bevegelsesmengden bevart. Rotasjon:

\tau = I\alpha

E = \tfrac12I\omega^2

L = I\omega

Begreper i denne delen

Arbeid og energibevaringDet totale arbeidet på et legeme er lik endringen i dets kinetiske energi. Uten friksjon er summen av kinetisk…Bevegelsesmengde og støtBevegelsesmengden til et legeme er massen ganger farten, og den er bevart i et støt når ytre krefter kan negli…Rotasjon og treghetsmomentTreghetsmomentet er rotasjonens motstykke til masse: det forteller hvor vanskelig det er å endre et legemes vi…Moment og spinnNewtons andre lov har et rotasjonsmotstykke: kraftmoment gir vinkelakselerasjon, akkurat som kraft gir akseler…Rulling uten glidingNår noe ruller uten å gli, er den kinetiske energien delt mellom translasjon og rotasjon, og vinkelfarten heng…

Øv på energi og rotasjon i appen →

Eksempeloppgaver med løsning

Her er noen av oppgavene i fysikk. I appen får regneoppgavene nye tall hver gang, så du kan øve til det sitter – og ta en prøveeksamen med karakter før eksamen.

Svingninger og bølger: En fjær med

k = 200

N/m bærer en masse på 0,5 kg. Hva er vinkelfrekvensen?

Svar: 20 rad/s

$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{400} = 20$ rad/s.

Elektrisitet og magnetisme: To punktladninger på 1 µC står 1 m fra hverandre. Hvor stor er kraften mellom dem, i mN? (

k = 8{,}99\cdot 10^9

)

Svar: 8,99 mN

$F = kq_1q_2/r^2 = 8{,}99\cdot10^9\cdot 10^{-12} = 8{,}99\cdot 10^{-3}$ N.

Energi og rotasjon: Hvor mye arbeid kreves for å løfte 10 kg 3 m opp? (

g = 9{,}81

)

Svar: 294,3 J

$W = mgh = 10\cdot 9{,}81\cdot 3 = 294{,}3$ J.

Svingninger og bølger: Hva er perioden til en matematisk pendel (små utslag)?

Svar: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$

Perioden avhenger ikke av massen.

Øv på alle oppgavene →

Passer for disse emnene

Innholdet dekker pensum som går igjen i ingeniørutdanningene, blant annet:

MEK1400 (OsloMet)
TFY4104 (NTNU)
FYS101 (NMBU)