Varmeoverføring: gratis øving, teori og oppgaver

1. Varmeledning

Hva handler det om?

Varmeledning er transport av varme gjennom et stoff uten at stoffet selv flytter på seg – varmen «hopper» fra molekyl til molekyl. Det er slik varme går gjennom en vegg, et rør eller en kjøleribbe. For en ingeniør handler dette om å dimensjonere isolasjon, beregne varmetap fra bygninger og rørledninger, og forstå hvorfor noen materialer kjennes kaldere å ta på enn andre selv ved samme temperatur.

Begreper og formler

Fouriers lov for et endimensjonalt, plant sjikt er

Varmen strømmer fra høy til lav temperatur, derav minustegnet.

• Varmeledningsevnen $k$ har enhet W/(m·K). Ikke forveksle med varmeovergangstallet $h$ (W/(m²·K)) eller spesifikk varmekapasitet $c$ (J/(kg·K)).
• Termisk motstand for et plant sjikt: $R = L/(kA)$ (K/W), der $L$ er tykkelsen og $A$ arealet vinkelrett på varmestrømmen.
• Sjikt i serie: $R_{tot} = \sum R_i = \sum L_i/(k_iA)$, akkurat som elektriske motstander i serie. Varmestrømmen $\dot Q$ er den samme gjennom hvert sjikt i stasjonær tilstand.
• Termisk motstand for et sylindrisk sjikt (f.eks. isolasjon på et rør), med indre radius $r_1$ og ytre radius $r_2$, lengde $L$: $$R = \dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi kL}$$
• Varmestrøm: $\dot Q = \Delta T/R_{tot}$ (W). Temperaturfallet fordeler seg proporsjonalt med motstanden til hvert sjikt.
• U-verdi: $U = 1/(R_{tot}A)$, varmetap per m² og grad temperaturforskjell (W/(m²·K)). Lav U-verdi betyr god isolasjon.
• En kuldebro er et område med mye lavere termisk motstand enn resten av konstruksjonen (f.eks. en stålbjelke gjennom isolasjonen), og gir lokalt stort varmetap.

Slik løser du oppgavene

1. Tegn opp sjiktene varmen går gjennom, og finn $L$, $k$ og $A$ (eller $r_1$, $r_2$, $L$ for et rør) for hvert av dem.
2. Regn den termiske motstanden til hvert sjikt, plant med $R = L/(kA)$ eller sylindrisk med $R = \ln(r_2/r_1)/(2\pi kL)$.
3. Legg sammen motstandene i serie: $R_{tot} = \sum R_i$.
4. Finn varmestrømmen $\dot Q = \Delta T/R_{tot}$, der $\Delta T$ er totalt temperaturfall.
5. Trenger du en temperatur inni konstruksjonen, bruk at temperaturfallet er proporsjonalt med motstanden fram til det punktet.

Eksempel

Et rør med indre radius 40 mm er isolert med 30 mm isolasjon ($k = 0{,}045$ W/(m·K)) langs en lengde på 8 m. Innerflaten av isolasjonen holder 120 °C og ytterflaten 20 °C. Hvor stort er varmetapet?

1. Ytre radius: $r_2 = 40+30 = 70$ mm.
2. $R = \dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi kL} = \dfrac{\ln(70/40)}{2\pi\cdot 0{,}045\cdot 8} \approx \dfrac{0{,}5596}{2{,}262} \approx 0{,}2474$ K/W.
3. $\dot Q = \Delta T/R = (120-20)/0{,}2474 \approx 404$ W.

Svar: omtrent 404 W.

Vanlige feil

• Å bruke den plane formelen $R = L/(kA)$ på et rør – for sylindriske sjikt må $\ln(r_2/r_1)$-formelen brukes.
• Å blande $k$ (varmeledningsevne) med $h$ (varmeovergangstall) – de har forskjellig enhet og beskriver helt forskjellige fenomener.
• Å glemme at $\dot Q$ er den samme gjennom alle sjikt i serie i stasjonær tilstand, selv om temperaturfallet er ulikt.
• Å bruke feil areal for et sjikt som ikke er plant (f.eks. bruke innerarealet for hele røret).
• Å blande mm og m i samme formel.

Begreper i denne delen

Øv på varmeledning i appen →

2. Konveksjon

Hva handler det om?

Konveksjon er varmeoverføring mellom en overflate og et fluid (luft, vann, olje …) som strømmer forbi. Det er slik en radiator varmer opp et rom, en kjøler avgir varme fra en motor, og vinden gjør at du fryser fortere. Konveksjon er mer komplisert enn ledning fordi den avhenger av strømningen: om fluidet drives av en vifte eller pumpe (tvungen konveksjon) eller av oppdrift fra temperaturforskjeller (naturlig konveksjon), og om strømningen er laminær eller turbulent. Som ingeniør trenger du konveksjon for å dimensjonere kjølesystemer, beregne varmetap fra bygninger og avgjøre om et legeme kan regnes som ensartet oppvarmet.

Begreper og formler

Newtons avkjølingslov er

der $h$ er varmeovergangstallet (W/(m²·K)), $T_s$ overflatetemperaturen og $T_\infty$ fluidtemperaturen langt unna.

• Termisk motstand ved konveksjon: $R_{konv} = 1/(hA)$ (K/W) – legges i serie med ledningsmotstander akkurat som før.
• Typiske $h$-verdier: naturlig konveksjon i luft 2–25, tvungen konveksjon i luft 10–200, tvungen konveksjon i vann 50–10000, koking/kondensering flere tusen til over 100000 W/(m²·K).
• Nusselttallet $Nu = hL/k$ uttrykker forholdet mellom konvektiv og konduktiv varmetransport i fluidet; store $Nu$ betyr effektiv konveksjon.
• Ved tvungen konveksjon øker $h$ med fluidhastigheten: raskere strøm gjør grensesjiktet (laget nær overflaten der farten endrer seg) tynnere, og et tynnere grensesjikt leder varmen raskere ut i fluidet.
• Biottallet $Bi = hL_c/k$ ($L_c$ = karakteristisk lengde, f.eks. volum/overflateareal) sammenligner motstanden mot ledning inni legemet med motstanden mot konveksjon på overflaten. Når $Bi < 0{,}1$ kan hele legemet regnes å ha samme temperatur («lumped capacitance»).
• Ribber (kjøleribber) øker overflatearealet og dermed varmeavgivelsen fra en overflate med begrenset plass.

Slik løser du oppgavene

1. Avgjør om det er tvungen eller naturlig konveksjon, og finn (eller bruk oppgitt) $h$.
2. For enkel konveksjon: bruk $\dot Q = hA\Delta T$ direkte.
3. For en vegg med konveksjon på begge sider og ett eller flere sjikt: legg sammen motstandene $R = 1/h_iA + \sum L_j/(k_jA) + 1/h_uA$, og finn $U = 1/(R_{tot}A)$ eller $\dot Q = \Delta T/R_{tot}$.
4. Sjekk om lumped capacitance kan brukes: regn $Bi = hL_c/k$ og sammenlign med 0,1.
5. Pass på at $h$ og $k$ ikke blandes – de har forskjellig enhet og beskriver forskjellige mekanismer.

Eksempel

En metallplate med karakteristisk lengde 8 mm og $k = 60$ W/(m·K) kjøles med luft der $h = 40$ W/(m²·K). Kan lumped capacitance brukes, og hvor stor er konveksjonsvarmen fra 0,3 m² overflate med 45 K temperaturforskjell?

1. $Bi = hL_c/k = 40\cdot 0{,}008/60 \approx 0{,}00533$.
2. Siden $Bi < 0{,}1$, kan hele platen regnes å ha samme temperatur.
3. $\dot Q = hA\Delta T = 40\cdot 0{,}3\cdot 45 = 540$ W.

Svar: Ja, lumped capacitance er gyldig, og $\dot Q = 540$ W.

Vanlige feil

• Å bruke $k$ (ledningsevne) i stedet for $h$ (varmeovergangstall) i Newtons avkjølingslov, eller motsatt.
• Å tro at $h$ er en materialegenskap. Den avhenger av geometri, fluid og strømningsforhold, og må ofte finnes fra korrelasjoner eller oppgis i oppgaven.
• Å bruke lumped capacitance uten å sjekke Biottallet først.
• Å glemme konveksjonsmotstanden $1/(hA)$ når du kobler sammen flere motstander i en vegg.
• Å anta at naturlig konveksjon alltid gir lavere varmetap enn tvungen – det stemmer nesten alltid, men det er strømningen, ikke «naturlig» i seg selv, som avgjør $h$.

Begreper i denne delen

Øv på konveksjon i appen →

3. Stråling og transient varme

Hva handler det om?

Stråling er varmeoverføring ved elektromagnetiske bølger og er den eneste formen for varmetransport som fungerer i vakuum – det er slik solen varmer jorden. Alle legemer med temperatur over det absolutte nullpunkt stråler ut energi. Transient varme handler om hvordan et legeme skifter temperatur over tid, for eksempel når en varm gjenstand kjøles ned i luft. Som ingeniør trenger du stråling for å beregne varmetap fra varme overflater (rør, ovner, elektronikk) og transiente formler for å finne hvor lang tid ting bruker på å varmes opp eller kjøles ned.

Begreper og formler

• Stefan–Boltzmanns lov, utstrålt effekt fra en gråflate: $\dot Q_{ut} = \varepsilon\sigma AT^4$, med $\sigma = 5{,}67\cdot10^{-8}$ W/(m²K⁴) og $T$ i kelvin.
• Netto strålingstap mot omgivelser med temperatur $T_{omg}$: $\dot Q = \varepsilon\sigma A(T^4 - T_{omg}^4)$.
• Emissivitet $\varepsilon$ (0–1) sier hvor godt en flate stråler sammenlignet med et svart legeme ($\varepsilon = 1$). Et polert, blankt metall har lav $\varepsilon$; en matt, mørk flate har høy $\varepsilon$.
• Kirchhoffs lov (forenklet): for en gråflate i termisk likevekt med omgivelsene er absorpsjonsevnen lik emissiviteten, $\alpha = \varepsilon$. En overflate som stråler godt, absorberer også godt.
• Wiens forskyvningslov: $\lambda_{maks}T \approx 2898$ µm·K – varmere legemer stråler mest ved kortere bølgelengde.
• Ofte tapes varme både ved konveksjon og stråling samtidig fra samme overflate: $\dot Q_{tot} = hA(T_s-T_\infty) + \varepsilon\sigma A(T_s^4-T_{omg}^4)$.

Ved lumped capacitance følger transient avkjøling/oppvarming av

der $\rho$ er tetthet, $V$ volum og $c$ spesifikk varmekapasitet.

• Tiden det tar å nå en gitt temperatur finner du ved å løse eksponentialligningen for $t$: $t = -\tau\ln\!\left(\dfrac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right)$.

Slik løser du oppgavene

1. For stråling alene: identifiser $\varepsilon$, $A$, og temperaturene i kelvin, og bruk Stefan–Boltzmann.
2. Kombiner med konveksjon når begge mekanismer virker fra samme overflate: legg sammen de to bidragene.
3. For transiente oppgaver: sjekk først at lumped capacitance er gyldig ($Bi < 0{,}1$, se forrige enhet), finn tidskonstanten $\tau$, og bruk eksponentialformelen.
4. Skal du finne tiden i stedet for temperaturen, snu formelen og løs for $t$ med logaritmen.
5. Husk å regne om °C til kelvin i $T^4$-uttrykk, men °C kan brukes direkte i differansene $T-T_\infty$ i den transiente formelen (siden 273,15 kanselleres).

Eksempel

En liten metallkule med tidskonstant $\tau = 90$ s avkjøles i luft på 22 °C. Den startet på 260 °C. Hvor lang tid tar det før den når 60 °C?

1. $t = -\tau\ln\!\left(\dfrac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right) = -90\ln\!\left(\dfrac{60-22}{260-22}\right) = -90\ln\!\left(\dfrac{38}{238}\right)$.
2. $\ln(38/238) = \ln(0{,}1597) \approx -1{,}834$.
3. $t \approx -90\cdot(-1{,}834) \approx 165$ s.

Svar: omtrent 165 sekunder (litt under 3 minutter).

Vanlige feil

• Å glemme å konvertere til kelvin i Stefan–Boltzmanns lov – $T^4$ er svært følsom for feil enhet.
• Å tro at stråling og konveksjon er gjensidig utelukkende. Fra en varm overflate i luft skjer ofte begge samtidig.
• Å bruke feil fortegn i eksponentialligningen, slik at temperaturen tilsynelatende øker under avkjøling.
• Å anta at emissiviteten er den samme for alle overflater. Blanke, polerte flater har ofte $\varepsilon$ under 0,1, mens matte flater kan ha $\varepsilon$ over 0,9.
• Å bruke lumped capacitance uten å sjekke at Biottallet faktisk er lite nok.

Begreper i denne delen

Øv på stråling og transient varme i appen →