Alle fag › Laplace, Fourier og PDE › Separasjon og Laplaces ligning

Separasjon og Laplaces ligning

Separasjon av variable antar at løsningen kan skrives som et produkt u(x,t)=X(x)T(t)u(x,t)=X(x)T(t), som gjør en PDE om til to enklere ordinære differensialligninger. Laplaces ligning beskriver en stasjonær (tidsuavhengig) tilstand, som stasjonær varmefordeling.

u(x,t)=X(x) T(t)u(x,t) = X(x)\,T(t)separasjonsansatsen
∇2u=0\nabla^2u = 0Laplaces ligning (stasjonær tilstand)

Symboler

X(x), T(t)X(x),\ T(t)faktorer som hver løser en ordinær ligning

Eksempel

Stasjonær varmeledning i en stav med u(0)=25u(0)=25 og u(10)=93u(10)=93: løsningen er lineær, u(x)=25+6,8xu(x)=25+6{,}8x, så u(0)=25u(0)=25.

Stasjonær betyr ut=0u_t=0, så varmeligningen blir uxx=0u_{xx}=0, som gir en lineær løsning i 1D.
Øv på partielle differensialligninger gratis →

← Bølgeligningen

Del av Laplace, Fourier og PDE: Partielle differensialligninger.