Alle fag › Elementmetoden › Masterelement og Jacobian

Masterelement og Jacobian

Alle elementer regnes på samme masterelement $\xi\in[-1, 1]$ og avbildes til det fysiske elementet. Jacobianen $J$ er hvor mye elementet strekkes. Integraler får faktoren $J$ , deriverte deles på $J$ .

\varphi_1 = \frac{1 - \xi}{2},\quad \varphi_2 = \frac{1 + \xi}{2}

lineære formfunksjoner

x(\xi) = x_1\varphi_1 + x_2\varphi_2,\quad J = \frac{h}{2}

avbildning og Jacobian

B^e_{ij} = \int_{-1}^{1} EA\,\frac{d\varphi_i}{d\xi}\frac{d\varphi_j}{d\xi}\frac{1}{J}\,d\xi

elementmatrise

F^e_i = \int_{-1}^{1} F_x\,\varphi_i\,J\,d\xi

elementvektor

Symboler

$\xi$	koordinat på masterelementet
$J$	Jacobian $dx/d\xi$	m
$h$	elementlengde	m

Eksempel

$h = 2$ m, $EA = 600$ kN: $J = 1$ , $\frac{d\varphi_1}{d\xi} = -\tfrac12$ , så $B^e_{11} = \int_{-1}^{1} 600\cdot\tfrac14\,d\xi = 300$ kN/m $= EA/h$ .

Kjerneregelen:

\frac{d\varphi}{dx} = \frac1J\frac{d\varphi}{d\xi}

. Glemmer du

J

, blir stivheten feil med en faktor

h/2

Øv på svak form og formfunksjoner gratis →

← Svak form for staven · Formfunksjoner →

Del av Elementmetoden: Svak form og formfunksjoner.