Alle fag › Elementmetoden › Gateaux-deriverte

Gateaux-deriverte

Den deriverte for funksjonaler: hvor mye endrer energien $\Pi$ seg når vi dytter hele forskyvningsfunksjonen $u$ et lite stykke $\theta$ i retningen $v$ ? Gang ut $\Pi(u + \theta v)$ , ta leddet som er proporsjonalt med $\theta$ – det er $\delta\Pi(u, v)$ .

\delta\Pi(u, v) = \lim_{\theta\to0}\frac{\Pi(u + \theta v) - \Pi(u)}{\theta}

definisjon

\delta\Pi(u, v) = \int_0^L EA\,u'v'\,dx - \int_0^L F_x\,v\,dx - P\,v(L)

for staven

Symboler

$u$	punktet (forskyvningen) vi deriverer i
$v$	retningen (variasjon, testfunksjon), $v(0) = 0$
$\theta$	lite tall

Eksempel

$\Pi(u) = \int_0^1(\tfrac12(u')^2 - u)\,dx$ .

Leddet med $\theta$ i $\Pi(u + \theta v)$ er $\theta\int_0^1(u'v' - v)\,dx$ .

Altså er $\delta\Pi(u, v) = \int_0^1(u'v' - v)\,dx$ .

Snarvei:

\delta\Pi(u, v) = \frac{d}{d\theta}\Pi(u + \theta v)

\theta = 0

. Deriver under integraltegnet.

Øv på svak form og formfunksjoner gratis →

← Randbetingelser og Ku = f · Svak form for staven →

Del av Elementmetoden: Svak form og formfunksjoner.