Alle fag › Matematikk 8.–10.

Matematikk 8.–10.: gratis øving, teori og oppgaver

Når et regnestykke har flere regnearter, må alle regne i samme rekkefølge – ellers får vi ulike svar.

8 deler76 oppgaverPrøveeksamenGratis

Start å øve gratis →

Innhold

Tall og regnerekkefølge
Brøk, prosent og vekstfaktor
Potenser og kvadratrøtter
Algebra og likninger
Lineære funksjoner
Geometri
Sannsynlighet og statistikk
Privatøkonomi

1. Tall og regnerekkefølge

Hva handler det om?

Når et regnestykke har flere regnearter, må alle regne i samme rekkefølge – ellers får vi ulike svar.

Det viktigste

Regnerekkefølge: 1) parenteser, 2) potenser, 3) gange og dele, 4) pluss og minus.
Negative tall: minus ganger minus blir pluss. $(-3) \cdot (-4) = 12$ , mens $(-3) \cdot 4 = -12$ .
Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til: $5 - (-2) = 7$ .
Et primtall har bare to faktorer: 1 og seg selv (2, 3, 5, 7, 11 …).
Primfaktorisering: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Eksempel

$3 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11$ – ikke 14, for ganging kommer før pluss.

Usikker? Sett parenteser rundt det som skal regnes først.

Øv på tall og regnerekkefølge i appen →

2. Brøk, prosent og vekstfaktor

Hva handler det om?

Prosent brukes overalt: rabatter, renter, lønn og statistikk. Vekstfaktoren gjør det enkelt å regne med økning og nedgang.

Det viktigste

Brøk med ulik nevner: finn fellesnevner. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .
Prosent av: $p\,\%$ av $x$ er $\frac{p}{100} \cdot x$ .
Vekstfaktor: øker med $p\,\%$ → gang med $1 + \frac{p}{100}$ . Synker med $p\,\%$ → gang med $1 - \frac{p}{100}$ .
25 % økning: vekstfaktor 1,25. 20 % rabatt: vekstfaktor 0,80.
Prosentvis endring = $\frac{\text{endring}}{\text{opprinnelig verdi}} \cdot 100\,\%$ .

Eksempel

En jakke til 800 kr settes ned med 30 %. Ny pris: $800 \cdot 0{,}70 = 560$ kr.

Prosentpoeng er noe annet enn prosent: fra 10 % til 12 % er 2 prosentpoeng, men 20 % økning.

Øv på brøk, prosent og vekstfaktor i appen →

3. Potenser og kvadratrøtter

Hva handler det om?

Potenser er en kort måte å skrive gjentatt ganging. Kvadratroten er det motsatte av å kvadrere.

Det viktigste

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Tallet nede er grunntallet, tallet oppe er eksponenten.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ og $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
$a^0 = 1$ og $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .
Standardform: $a \cdot 10^n$ der $1 \le a < 10$ . $45\,000 = 4{,}5 \cdot 10^4$ .
$\sqrt{49} = 7$ fordi $7^2 = 49$ .

Eksempel

$3^2 \cdot 3^3 = 3^5 = 243$ .

(-2)^2 = 4

, men

-2^2 = -4

: parentesen bestemmer hva som kvadreres.

Øv på potenser og kvadratrøtter i appen →

4. Algebra og likninger

Hva handler det om?

Algebra er regning med bokstaver. Med likninger kan du finne ukjente tall i alt fra oppskrifter til mobilabonnement.

Det viktigste

Like ledd kan slås sammen: $3x + 2x = 5x$ , men $3x + 2$ kan ikke forenkles.
Gange inn i parentes: $3(x + 4) = 3x + 12$ .
Sette utenfor parentes: $6x + 9 = 3(2x + 3)$ .
Løse likninger: samle $x$ -ene på én side og tallene på den andre. Gjør det samme på begge sider.
Sjekk alltid ved å sette løsningen inn i likningen.

Eksempel

$5x - 3 = 2x + 9$ . Trekk fra $2x$ : $3x - 3 = 9$ . Legg til 3: $3x = 12$ . Del på 3: $x = 4$ .

Flytter du et ledd over likhetstegnet, skifter det fortegn.

Øv på algebra og likninger i appen →

5. Lineære funksjoner

Hva handler det om?

En funksjon kobler hver $x$ til nøyaktig én $y$ . En lineær funksjon gir en rett linje.

Det viktigste

$f(x) = ax + b$ . Stigningstallet $a$ sier hvor mye $y$ øker når $x$ øker med 1. Konstantleddet $b$ er der linja krysser $y$ -aksen.
Stigningstall fra to punkter: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
$a > 0$ : linja stiger. $a < 0$ : linja synker.
Proporsjonale størrelser: $y = ax$ (linja går gjennom origo). Dobbelt så mye $x$ gir dobbelt så mye $y$ .
Lag en verditabell og tegn punktene for å se grafen.

Eksempel

Taxi: 50 kr i startpris og 15 kr per km. $f(x) = 15x + 50$ . 8 km koster $15 \cdot 8 + 50 = 170$ kr.

Stigningstallet er «hvor mye per enhet» – kr per km, liter per minutt.

Øv på lineære funksjoner i appen →

6. Geometri

Hva handler det om?

Geometri handler om former, vinkler, areal og volum – fra å tegne et hus til å beregne hvor mye maling som trengs.

Det viktigste

Vinkelsummen i en trekant er 180°. I en firkant er den 360°.
Pytagoras: i en rettvinklet trekant er $a^2 + b^2 = c^2$ , der $c$ er hypotenusen (den lengste siden).
Sirkel: omkrets $O = 2\pi r$ , areal $A = \pi r^2$ . $\pi \approx 3{,}14$ .
Volum av et prisme: grunnflate · høyde. Sylinder: $V = \pi r^2 h$ .
Formlike figurer har like vinkler, og sidene står i samme forhold.

Eksempel

Katetene er 6 cm og 8 cm. $c^2 = 36 + 64 = 100$ , så $c = 10$ cm.

Pytagoras gjelder bare i trekanter med en rett vinkel (90°).

Øv på geometri i appen →

7. Sannsynlighet og statistikk

Hva handler det om?

Sannsynlighet sier hvor trolig noe er, fra 0 (umulig) til 1 (sikkert). Statistikk beskriver data med noen få tall.

Det viktigste

$P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$ når alle utfall er like sannsynlige.
En terning: $P(\text{seks}) = \frac{1}{6}$ .
$P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$ .
To uavhengige hendelser: $P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)$ .
Gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde beskriver et datasett.

Eksempel

Sannsynligheten for to seksere på rad: $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ .

Terningen husker ikke: etter fem enere er sjansen for en ener fortsatt

\frac{1}{6}

Øv på sannsynlighet og statistikk i appen →

8. Privatøkonomi

Hva handler det om?

Å ha kontroll på egne penger: lønn, skatt, budsjett, sparing og lån.

Det viktigste

Et budsjett setter opp inntekter og utgifter. Overskudd = inntekter $-$ utgifter.
Bruttolønn er lønna før skatt, nettolønn er det du får utbetalt etter skatt.
Rente på sparing: pengene vokser med vekstfaktoren hvert år. $10\,000 \cdot 1{,}04^3$ etter tre år med 4 % rente.
Rentes rente: du får rente også av renta fra året før.
Lån koster renter. Lang nedbetalingstid gir lavere avdrag, men mer renter totalt.

Eksempel

Du tjener 4000 kr og bruker 3200 kr i måneden. Overskudd: 800 kr. På ett år sparer du $12 \cdot 800 = 9600$ kr.

Forbrukslån har ofte svært høy rente. Spar heller først.

Øv på privatøkonomi i appen →

Eksempeloppgaver med løsning

Her er noen av oppgavene i matematikk 8.–10.. I appen får regneoppgavene nye tall hver gang, så du kan øve til det sitter – og ta en prøveeksamen med karakter før eksamen.

Tall og regnerekkefølge: Hva er

2 + 3 \cdot 5

Svar: 17

Gange først: $3 \cdot 5 = 15$ , så $2 + 15 = 17$ .

Brøk, prosent og vekstfaktor: Hva er vekstfaktoren når noe øker med 15 %?

Svar: 1,15

$1 + 0{,}15 = 1{,}15$ .

Potenser og kvadratrøtter: Hva er

5^0

Svar: 1

Alle tall (unntatt 0) opphøyd i 0 er 1.

Algebra og likninger: Forenkle

4x + 3 - x + 5

Svar: $3x + 8$

$4x - x = 3x$ og $3 + 5 = 8$ .

Øv på alle oppgavene →